giải hộ vs Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol $y=x^2,$ đường thẳng $y=-x+2$ và trục hoành . Diện,tích của (H) bằng

Question

Accepted Answer

Để tính diện tích của hình phẳng (H) giới hạn bởi parabol $y = x^2$, đường thẳng $y = -x + 2$ và trục hoành, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm giao điểm của các đồ thị:
   - Giao điểm của $y = x^2$ và $y = -x + 2$:
     $$
     x^2 = -x + 2 \implies x^2 + x - 2 = 0 \implies (x + 2)(x - 1) = 0 \implies x = -2 \text{ hoặc } x = 1
     $$
     Do đó, các giao điểm là $(-2, 4)$ và $(1, 1)$.
   - Giao điểm của $y = -x + 2$ với trục hoành ($y = 0$):
     $$
     -x + 2 = 0 \implies x = 2
     $$

2. Phân chia hình phẳng (H) thành các phần dễ tính toán:
   - Phần giữa $x = -2$ và $x = 0$: Giới hạn bởi $y = x^2$ và trục hoành.
   - Phần giữa $x = 0$ và $x = 1$: Giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = -x + 2$.
   - Phần giữa $x = 1$ và $x = 2$: Giới hạn bởi $y = -x + 2$ và trục hoành.

3. Tính diện tích từng phần:
   - Diện tích phần giữa $x = -2$ và $x = 0$:
     $$
     A_1 = \int_{-2}^{0} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{0} = 0 - \left( \frac{-8}{3} \right) = \frac{8}{3}
     $$
   - Diện tích phần giữa $x = 0$ và $x = 1$:
     $$
     A_2 = \int_{0}^{1} (-x + 2 - x^2) \, dx = \int_{0}^{1} (-x + 2 - x^2) \, dx = \left[ -\frac{x^2}{2} + 2x - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \left( -\frac{1}{2} + 2 - \frac{1}{3} \right) - 0 = \frac{7}{6}
     $$
   - Diện tích phần giữa $x = 1$ và $x = 2$:
     $$
     A_3 = \int_{1}^{2} (-x + 2) \, dx = \left[ -\frac{x^2}{2} + 2x \right]_{1}^{2} = \left( -2 + 4 \right) - \left( -\frac{1}{2} + 2 \right) = 2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}
     $$

4. Tổng diện tích của hình phẳng (H):
   $$
   A = A_1 + A_2 + A_3 = \frac{8}{3} + \frac{7}{6} + \frac{1}{2} = \frac{16}{6} + \frac{7}{6} + \frac{3}{6} = \frac{26}{6} = \frac{13}{3}
   $$

Vậy diện tích của hình phẳng (H) là $\frac{13}{3}$.