cho tam giác ABC nhọn.đường tròn (o) đường kính BC ,AC lần lượt tại E và D , BD cắt CE tại H ; AH cắt BC tại I . Vẽ các tiếp tuyến AM,AN của (o) (M,N là các tiếp điểm ). Chứng minh : a. tứ giác ADHE ,...

An Vu 1. Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp:

Để chứng minh 4 điểm A, D, H, E cùng nằm trên một đường tròn, ta cần chứng minh:

∠ADE+∠AHE=180∘hoặc∠DAE=∠DHE\angle ADE + \angle AHE = 180^\circ \quad \text{hoặc} \quad \angle DAE = \angle DHE∠ADE+∠AHE=180∘hoặc∠DAE=∠DHETừ giả thiết:

• D, E là các điểm cắt AC và AB với đường tròn đường kính BC ⇒ các điểm D và E nằm trên đường tròn (O) đường kính BC.
• Theo tính chất hình học: nếu D, E thuộc đường tròn đường kính BC, thì các góc ∠DBC và ∠ECB đều là góc vuông vì góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là 90°.

=> ∠BDC=∠CEB=90∘\angle BDC = \angle CEB = 90^\circ∠BDC=∠CEB=90∘

• H là giao điểm của BD và CE ⇒ H là trực tâm của tam giác ABC vì các đường cao (BD và CE) cắt nhau tại H.
• AH là đường cao, cắt BC tại I ⇒ AH vuông góc với BC tại I.

Bây giờ, sử dụng các góc vuông:

• ∠ADE và ∠AHE đều là góc vuông (do dựng từ giao điểm các đường cao), cho nên:

∠ADE+∠AHE=90∘+90∘=180∘⇒ADHE nội tieˆˊp\angle ADE + \angle AHE = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \Rightarrow ADHE \text{ nội tiếp}∠ADE+∠AHE=90∘+90∘=180∘⇒ADHE nội tieˆˊp2. Chứng minh tứ giác ADIB nội tiếp:

Để chứng minh ADIB nội tiếp, cần chứng minh:

∠DAB+∠DIB=180∘hoặc∠DIB=∠DAB\angle DAB + \angle DIB = 180^\circ \quad \text{hoặc} \quad \angle DIB = \angle DAB∠DAB+∠DIB=180∘hoặc∠DIB=∠DABTừ trên đã biết:

• I là chân đường cao từ A hạ xuống BC ⇒ ∠AIB=90∘\angle AIB = 90^\circ∠AIB=90∘
• D là điểm trên AC thuộc đường tròn đường kính BC ⇒ ∠DBC=90∘\angle DBC = 90^\circ∠DBC=90∘

Ta cần chứng minh các góc liên quan bằng nhau hoặc tổng 180°, sử dụng thêm các tính chất hình học và góc nội tiếp từ đường tròn để bổ sung. Tuy nhiên, do các góc ∠AIB = 90° và ∠ADB (do thuộc đường tròn) cũng bằng 90°, ta có thể chứng minh:

∠AIB+∠ADB=180∘⇒ADIB nội tieˆˊp\angle AIB + \angle ADB = 180^\circ \Rightarrow ADIB \text{ nội tiếp}∠AIB+∠ADB=180∘⇒ADIB nội tieˆˊp