giúp mình với

Câu 1. a) Các phần tử của không gian mẫu của phép thử là: (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5) b) Các kết quả thuận lợi cho biến cố "Trong 2 quả bóng lấy ra có ít nhất 1 quả bóng ghi số chẵn" là: (1, 2), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (4, 5) c) Các kết quả thuận lợi cho biến cố "Tổng hai số ghi trên 2 quả bóng chia hết cho 3" là: (1, 2), (1, 5), (2, 4), (3, 5) Xác suất của biến cố này là: \[ P = \frac{\text{số kết quả thuận lợi}}{\text{số phần tử của không gian mẫu}} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \] Đáp số: a) (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5) b) (1, 2), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (4, 5) c) $\frac{2}{5}$ Câu 2 a) Xác định hệ số a: Điểm $M(2;-2)$ thuộc đồ thị hàm số $(P):~y=ax^2$, thay tọa độ của M vào ta có: $-2 = a \times 2^2$ $-2 = 4a$ $a = -\frac{1}{2}$ Vậy hệ số a là $-\frac{1}{2}$. b) Vẽ đồ thị hàm số (P): Hàm số (P) là $y = -\frac{1}{2}x^2$. Đồ thị của hàm số này là một parabol mở xuống, đỉnh ở gốc tọa độ (0,0), và đi qua các điểm như (-2,-2), (2,-2), (-4,-8), (4,-8),... c) Tìm những điểm thuộc (P) có tung độ bằng -6: Thay $y = -6$ vào phương trình hàm số: $-6 = -\frac{1}{2}x^2$ $x^2 = 12$ $x = \sqrt{12}$ hoặc $x = -\sqrt{12}$ Vậy những điểm thuộc (P) có tung độ bằng -6 là $(\sqrt{12}, -6)$ và $(-\sqrt{12}, -6)$. Câu 3 3.1. Giải phương trình $x^2 - x - 8 = 0.$ Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \(a = 1\), \(b = -1\), \(c = -8\): \[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 32}}{2} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{2} \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x_1 = \frac{1 + \sqrt{33}}{2}, \quad x_2 = \frac{1 - \sqrt{33}}{2} \] 3.2. Cho parabol $(P):~y = 3x^2$ và đường thẳng $(d):~y = x - 2m$ (với m là tham số) a) Tìm tọa độ điểm A thuộc parabol $(P):~y = 3x^2$, biết hoành độ của điểm A bằng -2. Thay \(x = -2\) vào phương trình của parabol: \[ y = 3(-2)^2 = 3 \cdot 4 = 12 \] Tọa độ điểm A là: \[ A(-2, 12) \] b) Tìm m sao cho đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt. Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt, phương trình sau phải có 2 nghiệm phân biệt: \[ 3x^2 = x - 2m \] \[ 3x^2 - x + 2m = 0 \] Phương trình này có 2 nghiệm phân biệt khi: \[ \Delta = b^2 - 4ac > 0 \] Ở đây, \(a = 3\), \(b = -1\), \(c = 2m\): \[ \Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2m \] \[ \Delta = 1 - 24m \] Để có 2 nghiệm phân biệt: \[ 1 - 24m > 0 \] \[ 1 > 24m \] \[ m < \frac{1}{24} \] Vậy giá trị của \(m\) để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt là: \[ m < \frac{1}{24} \] Câu 4 a) Ta có $\widehat{ABM}=\widehat{ACB}=90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\Rightarrow \widehat{HBC}=\widehat{CAM}$ (hai góc kề bù với góc bằng nhau) $\Rightarrow \widehat{HCB}=\widehat{AMC}$ (cùng bù với góc $\widehat{HBC})$ $\Rightarrow \widehat{AMC}+\widehat{AHC}=180^\circ$ (cùng bù với góc $\widehat{HCB})$ $\Rightarrow$ Tứ giác AMCH nội tiếp (tổng hai góc đối bằng 180°) b) Ta có $\widehat{OBC}=\widehat{MAC}$ (chung đỉnh, cùng bằng $\widehat{HBC})$ $\Rightarrow \Delta OBC \sim \Delta MAC$ (g.g) $\Rightarrow \frac{OB}{OC}=\frac{MA}{MC}$ $\Rightarrow OB.MC=OC.MA$ $\Rightarrow OB.MC=OC.2R$ (vì $MA=2R)$ $\Rightarrow OB.MC=OC.OB$ (vì $OC=OB=R)$ $\Rightarrow MC=OC$ $\Rightarrow \Delta OMC$ cân tại O $\Rightarrow OH$ là đường cao đồng thời là đường phân giác của $\Delta OMC$ $\Rightarrow \frac{OH}{OM}=\frac{OC}{MC}$ (tính chất đường phân giác) $\Rightarrow OH.OM=OC^2$ $\Rightarrow OH.OM=OB^2$ (vì $OC=OB=R)$ c) Ta có $\widehat{HBC}=\widehat{CAM}$ (chung đỉnh, cùng bằng $\widehat{HBC})$ $\Rightarrow \widehat{HCB}=\widehat{AMC}$ (cùng bù với góc $\widehat{HBC})$ $\Rightarrow \widehat{HCB}=\widehat{HCM}$ (tứ giác AMCH nội tiếp) $\Rightarrow HB\bot HC$ (vì $\widehat{HCB}+\widehat{HCM}=180^\circ)$ Câu 6 Gọi số ngày dự kiến hoàn thành công việc là x (ngày, điều kiện: x > 1). Số cây dự kiến trồng trong một ngày là $\frac{600}{x}$ (cây/ngày). Số cây thực tế trồng trong một ngày là $\frac{600}{x-1}$ (cây/ngày). Theo đề bài, ta có: \[ \frac{600}{x-1} = \frac{600}{x} + 30 \] Nhân cả hai vế với x(x-1): \[ 600x = 600(x-1) + 30x(x-1) \] Rút gọn và biến đổi: \[ 600x = 600x - 600 + 30x^2 - 30x \] \[ 0 = -600 + 30x^2 - 30x \] \[ 30x^2 - 30x - 600 = 0 \] \[ x^2 - x - 20 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 80}}{2} = \frac{1 \pm 9}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ x = 5 \quad \text{hoặc} \quad x = -4 \] Vì x > 1, nên ta chọn x = 5. Vậy số ngày chi đoàn dự kiến hoàn thành công việc là 5 ngày. Câu 7. Để tính thể tích của mô hình tên lửa, chúng ta cần tính thể tích của phần hình trụ và phần hình nón, sau đó cộng lại. Bước 1: Tính thể tích của phần hình trụ - Diện tích đáy của hình trụ là: \[ S_{\text{đáy}} = \pi r^2 = \pi \times 3^2 = 9\pi \, \text{cm}^2 \] - Thể tích của hình trụ là: \[ V_{\text{trụ}} = S_{\text{đáy}} \times \text{chiều cao} = 9\pi \times 10 = 90\pi \, \text{cm}^3 \] Bước 2: Tính thể tích của phần hình nón - Diện tích đáy của hình nón là: \[ S_{\text{đáy}} = \pi r^2 = \pi \times 3^2 = 9\pi \, \text{cm}^2 \] - Thể tích của hình nón là: \[ V_{\text{nón}} = \frac{1}{3} \times S_{\text{đáy}} \times \text{chiều cao} = \frac{1}{3} \times 9\pi \times 12 = 36\pi \, \text{cm}^3 \] Bước 3: Tính tổng thể tích của mô hình tên lửa - Tổng thể tích là: \[ V_{\text{tổng}} = V_{\text{trụ}} + V_{\text{nón}} = 90\pi + 36\pi = 126\pi \, \text{cm}^3 \] Vậy thể tích của mô hình tên lửa là: \[ 126\pi \, \text{cm}^3 \] Câu 8. Theo bài ra, $x_1$ và $x_2$ là các nghiệm của phương trình $x^2 - 3x - 10 = 0$. Theo định lý Viète, ta có: \[ x_1 + x_2 = 3 \] \[ x_1 \cdot x_2 = -10 \] Biểu thức cần tính là: \[ A = \frac{x_1 + 1}{x_2} + \frac{x_2 + 1}{x_1} \] Ta sẽ biến đổi biểu thức này: \[ A = \frac{x_1 + 1}{x_2} + \frac{x_2 + 1}{x_1} \] \[ A = \frac{(x_1 + 1)x_1 + (x_2 + 1)x_2}{x_1 x_2} \] \[ A = \frac{x_1^2 + x_1 + x_2^2 + x_2}{x_1 x_2} \] Áp dụng công thức $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + x_2^2 + 2x_1 x_2$, ta có: \[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 \] \[ x_1^2 + x_2^2 = 3^2 - 2(-10) \] \[ x_1^2 + x_2^2 = 9 + 20 \] \[ x_1^2 + x_2^2 = 29 \] Thay vào biểu thức: \[ A = \frac{29 + x_1 + x_2}{x_1 x_2} \] \[ A = \frac{29 + 3}{-10} \] \[ A = \frac{32}{-10} \] \[ A = -\frac{16}{5} \] Vậy giá trị của biểu thức $A$ là: \[ A = -\frac{16}{5} \]