12/05/2025
12/05/2025
13/05/2025
Câu 4: Cho hàm số $f(x) = 2\sin x \cos x + \sqrt{2}x$.
a) Hàm số đã cho liên tục trên đoạn $\left[\frac{\pi}{3}; \pi\right]$.
* Đúng.
$f(x) = 2\sin x \cos x + \sqrt{2}x = \sin(2x) + \sqrt{2}x$.
Hàm số $\sin(2x)$ và $\sqrt{2}x$ là các hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$, do đó hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, suy ra $f(x)$ liên tục trên đoạn $\left[\frac{\pi}{3}; \pi\right]$.
b) Đạo hàm của hàm số đã cho là $f'(x) = 2\cos 2x + \sqrt{2}$.
* Sai.
Ta có $f(x) = \sin(2x) + \sqrt{2}x$.
Suy ra $f'(x) = 2\cos(2x) + \sqrt{2}$. Vậy, đáp án đúng là $f'(x) = 2\cos(2x)+\sqrt{2}$, nhưng đáp án đưa ra là $f'(x) = 2\cos 2x + \sqrt{2}$, giống nhau.
c) Trên đoạn $\left[\frac{\pi}{3}; \pi\right]$, phương trình $f'(x) = 0$ có đúng một nghiệm là $\frac{3\pi}{8}$.
* Đúng.
$f'(x) = 2\cos(2x) + \sqrt{2} = 0 \Leftrightarrow \cos(2x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$2x = \pm \frac{3\pi}{4} + k2\pi \Leftrightarrow x = \pm \frac{3\pi}{8} + k\pi$, với $k \in \mathbb{Z}$.
Xét $x = \frac{3\pi}{8} + k\pi$:
* $k = 0 \Rightarrow x = \frac{3\pi}{8} \in \left[\frac{\pi}{3}; \pi\right]$.
* $k = 1 \Rightarrow x = \frac{11\pi}{8} > \pi$.
Xét $x = -\frac{3\pi}{8} + k\pi$:
* $k = 1 \Rightarrow x = \frac{5\pi}{8} \in \left[\frac{\pi}{3}; \pi\right]$.
* $k = 0 \Rightarrow x = -\frac{3\pi}{8}$.
Vậy có hai nghiệm trên đoạn $\left[\frac{\pi}{3}; \pi\right]$ là $x = \frac{3\pi}{8}$ và $x = \frac{5\pi}{8}$, do đó câu này sai.
d) Giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên đoạn $\left[\frac{\pi}{3}; \pi\right]$ là $\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi\sqrt{2}}{3}$.
* Sai.
Ta có $f'(x) = 2\cos(2x) + \sqrt{2} = 0 \Leftrightarrow \cos(2x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Nghiệm trên đoạn $\left[\frac{\pi}{3}; \pi\right]$ là $x = \frac{3\pi}{8}$ và $x = \frac{5\pi}{8}$
$f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) + \sqrt{2}\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi\sqrt{2}}{3}$
$f(\pi) = \sin(2\pi) + \sqrt{2}\pi = \sqrt{2}\pi$
$f\left(\frac{3\pi}{8}\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) + \sqrt{2}\frac{3\pi}{8} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3\pi\sqrt{2}}{8}$
$f\left(\frac{5\pi}{8}\right) = \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) + \sqrt{2}\frac{5\pi}{8} = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{5\pi\sqrt{2}}{8}$
Gi trị nhỏ nhất không phải là $\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi\sqrt{2}}{3}$.
Nếu bạn muốn hỏi bài tập
Các câu hỏi của bạn luôn được giải đáp dưới 10 phút
CÂU HỎI LIÊN QUAN
5 giờ trước
5 giờ trước
5 giờ trước
7 giờ trước
Top thành viên trả lời