đáp án đúng sai

Câu 2: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu của đề bài. Bước 1: Xác định điều kiện ban đầu - Tại thời điểm xuất phát (\( t = 0 \)), khinh khí cầu ở độ cao 520 m: \[ h(0) = 520 \] Bước 2: Xác định độ cao của khinh khí cầu tại thời điểm \( t \) - Độ cao của khinh khí cầu tại thời điểm \( t \) được cho bởi: \[ h(t) = \int_{0}^{t} v(t) \, dt \] - Biết rằng tốc độ bay của khinh khí cầu là: \[ v(t) = at^2 + bt \] Bước 3: Xác định các điều kiện khác - Sau 5 phút, khinh khí cầu ở độ cao 530 m: \[ h(5) = 530 \] - Sau 15 phút, khinh khí cầu trở lại độ cao ban đầu: \[ h(15) = 520 \] Bước 4: Tính tích phân để tìm \( h(t) \) \[ h(t) = \int_{0}^{t} (at^2 + bt) \, dt \] \[ h(t) = \left[ \frac{a}{3}t^3 + \frac{b}{2}t^2 \right]_{0}^{t} \] \[ h(t) = \frac{a}{3}t^3 + \frac{b}{2}t^2 + C \] Bước 5: Áp dụng điều kiện ban đầu để xác định hằng số \( C \) \[ h(0) = 520 \] \[ \frac{a}{3}(0)^3 + \frac{b}{2}(0)^2 + C = 520 \] \[ C = 520 \] Do đó: \[ h(t) = \frac{a}{3}t^3 + \frac{b}{2}t^2 + 520 \] Bước 6: Áp dụng các điều kiện khác để tìm \( a \) và \( b \) - Sau 5 phút, khinh khí cầu ở độ cao 530 m: \[ h(5) = 530 \] \[ \frac{a}{3}(5)^3 + \frac{b}{2}(5)^2 + 520 = 530 \] \[ \frac{125a}{3} + \frac{25b}{2} + 520 = 530 \] \[ \frac{125a}{3} + \frac{25b}{2} = 10 \quad \text{(1)} \] - Sau 15 phút, khinh khí cầu trở lại độ cao ban đầu: \[ h(15) = 520 \] \[ \frac{a}{3}(15)^3 + \frac{b}{2}(15)^2 + 520 = 520 \] \[ \frac{3375a}{3} + \frac{225b}{2} + 520 = 520 \] \[ 1125a + \frac{225b}{2} = 0 \quad \text{(2)} \] Bước 7: Giải hệ phương trình Từ phương trình (2): \[ 1125a + \frac{225b}{2} = 0 \] \[ 2250a + 225b = 0 \] \[ 10a + b = 0 \] \[ b = -10a \] Thay vào phương trình (1): \[ \frac{125a}{3} + \frac{25(-10a)}{2} = 10 \] \[ \frac{125a}{3} - \frac{250a}{2} = 10 \] \[ \frac{250a - 750a}{6} = 10 \] \[ \frac{-500a}{6} = 10 \] \[ -500a = 60 \] \[ a = -\frac{60}{500} = -\frac{3}{25} \] Do đó: \[ b = -10a = -10 \left( -\frac{3}{25} \right) = \frac{30}{25} = \frac{6}{5} \] Bước 8: Xác định biểu thức của \( h(t) \) \[ h(t) = \frac{-3}{25 \cdot 3} t^3 + \frac{6}{5 \cdot 2} t^2 + 520 \] \[ h(t) = -\frac{1}{25} t^3 + \frac{3}{5} t^2 + 520 \] Bước 9: Xác định giai đoạn tăng độ cao - Khinh khí cầu tăng độ cao khi \( v(t) > 0 \): \[ v(t) = -\frac{3}{25} t^2 + \frac{6}{5} t > 0 \] \[ t \left( -\frac{3}{25} t + \frac{6}{5} \right) > 0 \] \[ t \left( -\frac{3}{25} t + \frac{30}{25} \right) > 0 \] \[ t \left( -\frac{3}{25} (t - 10) \right) > 0 \] \[ t (t - 10) < 0 \] \[ 0 < t < 10 \] Bước 10: Xác định độ cao tối đa - Độ cao tối đa xảy ra khi \( v(t) = 0 \): \[ -\frac{3}{25} t^2 + \frac{6}{5} t = 0 \] \[ t \left( -\frac{3}{25} t + \frac{6}{5} \right) = 0 \] \[ t = 0 \quad \text{hoặc} \quad t = 10 \] Do đó, độ cao tối đa xảy ra tại \( t = 10 \): \[ h(10) = -\frac{1}{25} (10)^3 + \frac{3}{5} (10)^2 + 520 \] \[ h(10) = -\frac{1000}{25} + \frac{300}{5} + 520 \] \[ h(10) = -40 + 60 + 520 \] \[ h(10) = 540 \] Kết luận: a) \( h(0) = 520 \, m \) b) Độ cao của khinh khí cầu tại thời điểm \( t \) là \( h(t) = -\frac{1}{25} t^3 + \frac{3}{5} t^2 + 520 \) c) Giai đoạn khinh khí cầu tăng độ cao kéo dài trong 10 phút kể từ thời điểm xuất phát. d) Độ cao tối đa của khinh khí cầu là 540 m. Câu 3: a) Gặp ngẫu nhiên một bệnh nhân thuộc nhóm X, xác suất bệnh nhân bị lao phổi là 0,152. b) Gặp được bệnh nhân không mắc bệnh lao phổi, xác suất bệnh nhân đó có ít nhất một triệu chứng trên là 0,335. c) Có 70% bệnh nhân thuộc nhóm X có ít nhất một triệu chứng trên (kết quả tính theo phần trăm được làm tròn đến hàng đơn vị). d) Trong số những bệnh nhân có ít nhất một triệu chứng trên, có 21% người mắc bệnh lao phổi (kết quả tính theo phần trăm được làm tròn đến hàng đơn vị). Lập luận từng bước: - Xác suất bệnh nhân bị lao phổi là 0,152. - Xác suất bệnh nhân không bị lao phổi là 1 - 0,152 = 0,848. - Trong số những người mắc bệnh lao phổi, có 93,2% trường hợp có ít nhất một triệu chứng. - Trong số những người không mắc bệnh lao phổi, có 35,8% trường hợp không có triệu chứng nào, tức là có 64,2% trường hợp có ít nhất một triệu chứng. Bây giờ, chúng ta sẽ tính xác suất tổng thể của bệnh nhân có ít nhất một triệu chứng: Xác suất bệnh nhân có ít nhất một triệu chứng: \[ P(\text{Có triệu chứng}) = P(\text{Lao phổi}) \times P(\text{Có triệu chứng} | \text{Lao phổi}) + P(\text{Không lao phổi}) \times P(\text{Có triệu chứng} | \text{Không lao phổi}) \] \[ P(\text{Có triệu chứng}) = 0,152 \times 0,932 + 0,848 \times 0,642 \] \[ P(\text{Có triệu chứng}) = 0,141744 + 0,544736 \] \[ P(\text{Có triệu chứng}) = 0,68648 \] Kết quả này gần với 0,70, do đó có 70% bệnh nhân thuộc nhóm X có ít nhất một triệu chứng. Tiếp theo, chúng ta sẽ tính xác suất bệnh nhân mắc bệnh lao phổi trong số những bệnh nhân có ít nhất một triệu chứng: Xác suất bệnh nhân mắc bệnh lao phổi trong số những bệnh nhân có ít nhất một triệu chứng: \[ P(\text{Lao phổi} | \text{Có triệu chứng}) = \frac{P(\text{Lao phổi}) \times P(\text{Có triệu chứng} | \text{Lao phổi})}{P(\text{Có triệu chứng})} \] \[ P(\text{Lao phổi} | \text{Có triệu chứng}) = \frac{0,152 \times 0,932}{0,68648} \] \[ P(\text{Lao phổi} | \text{Có triệu chứng}) = \frac{0,141744}{0,68648} \] \[ P(\text{Lao phổi} | \text{Có triệu chứng}) \approx 0,2065 \] Kết quả này gần với 0,21, do đó trong số những bệnh nhân có ít nhất một triệu chứng trên, có 21% người mắc bệnh lao phổi. Đáp số: a) 0,152 b) 0,335 c) 70% d) 21% Câu 4: a) Hàm số $f(x)=2\sin x\cos x+\sqrt2x$ là tổng của hai hàm số liên tục trên đoạn $[\frac\pi3;\pi]$, do đó hàm số đã cho liên tục trên đoạn $[\frac\pi3;\pi]$. b) Đạo hàm của hàm số đã cho là: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2\sin x \cos x) + \frac{d}{dx}(\sqrt{2}x) \] \[ f'(x) = 2(\cos^2 x - \sin^2 x) + \sqrt{2} \] \[ f'(x) = 2\cos(2x) + \sqrt{2} \] c) Trên đoạn $[\frac{\pi}{3}; \pi]$, ta cần giải phương trình $f'(x) = 0$: \[ 2\cos(2x) + \sqrt{2} = 0 \] \[ \cos(2x) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ 2x = \frac{3\pi}{4} + k\pi \quad \text{với } k \in \mathbb{Z} \] \[ x = \frac{3\pi}{8} + \frac{k\pi}{2} \quad \text{với } k \in \mathbb{Z} \] Trong đoạn $[\frac{\pi}{3}; \pi]$, chỉ có nghiệm duy nhất là $x = \frac{3\pi}{8}$. d) Để tìm giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên đoạn $[\frac{\pi}{3}; \pi]$, ta tính giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm cực trị: - Tại $x = \frac{\pi}{3}$: \[ f\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + \sqrt{2}\left(\frac{\pi}{3}\right) \] \[ f\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{\pi\sqrt{2}}{3} \] \[ f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi\sqrt{2}}{3} \] - Tại $x = \pi$: \[ f(\pi) = 2\sin(\pi)\cos(\pi) + \sqrt{2}\pi \] \[ f(\pi) = 0 + \sqrt{2}\pi \] \[ f(\pi) = \sqrt{2}\pi \] - Tại $x = \frac{3\pi}{8}$: \[ f\left(\frac{3\pi}{8}\right) = 2\sin\left(\frac{3\pi}{8}\right)\cos\left(\frac{3\pi}{8}\right) + \sqrt{2}\left(\frac{3\pi}{8}\right) \] \[ f\left(\frac{3\pi}{8}\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) + \frac{3\pi\sqrt{2}}{8} \] \[ f\left(\frac{3\pi}{8}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3\pi\sqrt{2}}{8} \] So sánh các giá trị: \[ f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi\sqrt{2}}{3} \] \[ f(\pi) = \sqrt{2}\pi \] \[ f\left(\frac{3\pi}{8}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3\pi\sqrt{2}}{8} \] Giá trị nhỏ nhất là: \[ \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi\sqrt{2}}{3} \] Vậy giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên đoạn $[\frac{\pi}{3}; \pi]$ là $\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi\sqrt{2}}{3}$. Câu 1: Gọi số bó hoa nhỏ là x (x > 0) Gọi số bó hoa lớn là y (y > 0) Theo đề bài ta có: - Thời gian làm hoa nhỏ và lớn không quá 36 giờ: \(2x + 3y \leq 36\) - Số bó hoa nhỏ và lớn ít nhất là 15 bó: \(x + y \geq 15\) Ta cần tìm giá trị lớn nhất của biểu thức đại lượng tổng doanh thu từ việc bán các bó hoa: \[P = 60x + 100y\] Bước 1: Xác định miền giải của hệ bất phương trình: - \(2x + 3y \leq 36\) - \(x + y \geq 15\) Bước 2: Tìm giao điểm của hai đường thẳng: - \(2x + 3y = 36\) - \(x + y = 15\) Giải hệ phương trình này: Từ \(x + y = 15\) ta có \(y = 15 - x\). Thay vào phương trình \(2x + 3y = 36\): \[2x + 3(15 - x) = 36\] \[2x + 45 - 3x = 36\] \[-x + 45 = 36\] \[x = 9\] Thay \(x = 9\) vào \(y = 15 - x\): \[y = 15 - 9 = 6\] Vậy giao điểm là (9, 6). Bước 3: Kiểm tra các đỉnh của miền giải: - Điểm (0, 12) từ \(2x + 3y = 36\) khi \(x = 0\) - Điểm (15, 0) từ \(x + y = 15\) khi \(y = 0\) - Điểm (9, 6) đã tìm ở trên Bước 4: Tính giá trị biểu thức \(P = 60x + 100y\) tại các đỉnh: - Tại (0, 12): \(P = 60 \times 0 + 100 \times 12 = 1200\) - Tại (15, 0): \(P = 60 \times 15 + 100 \times 0 = 900\) - Tại (9, 6): \(P = 60 \times 9 + 100 \times 6 = 540 + 600 = 1140\) Trong ba giá trị trên, giá trị lớn nhất là 1200 nghìn đồng, đạt được khi \(x = 0\) và \(y = 12\). Vậy nhóm bạn Lan thu được số tiền lớn nhất là 1200 nghìn đồng.