Chọn đúng hoặc sai (giải thích câu sai) Câu 1. Một vật đang ở nhiệt độ thì được đặt vào môi,trường x có nhiệt độ $25^0C.$ Kể từ đó, nhiệt độ của vật giảm dần theo,tốc độ $T^\prime(t)=-150e^{-2t}~(^0C$ "c / phút), trong đó (() là nhiệt độ tính theo ',tại thời điểm / phút kể từ khi được đặt trong môi trường x . Khi đó:,$T(t)=\int^3_0T^\prime(t)dt$,a) Nhiệt độ của vật tại thời điểm $t=3$ phút là,$b)~T(t)=75e^{-2t}+20$,c) Tốc độ giảm nhiệt độ của vật tăng dần theo thời gian.,$d)~T(t)=\int T^\prime(t)dt$ với $T(0)=100$,Câu 2. Trong không gian Oxyz, một viên đạn được bắn ra từ vị,trí $A(1;2;3)$ hướng đến vị trí $B(0;1;-6),$ bia chắn là mặt phẳng,$(P):~4x-y+2z+13=0.$ đơn vị là kilomet.,$(P):~4x-y+2z+13=0.$ đơn vị là kilomet.,a) Hình chiếu vuông góc của A trên (Oxy) là $H(0;2;3)$,b) Góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng $(P)$ (làm tròn đến,hàng đơn vị) là $60^0.$,c) Điểm # thuộc mặt phẳng (P).,d) Giả sử viên đạn chuyển động thẳng đều theo hướng vecto,$V(-2;-2;-18)$ với vận tốc s00m/s (bỏ qua mọi lực cản và chướng,ngại vật), sau một phút bắn ra đi qua điểm #.,Câu 3. Cho hàm số $y=\frac{3x+2}{x-2}$ có đồ thị là (c),a) Đồ thi (C) cắt đường thẳng $y=x+3$ tại hai điểm phân biệt.,b) Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (c) với trục oy,là đường thẳng $y=-2x+1.$,c) Đường thẳng $y=3$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số (C).,d) Điểm I(2;3) là giao điểm của các đường tiệm cận của đồ thị,(C).,Câu 4. Quan sát quá trình sinh trưởng và phát triển của một,giống cà chua mới trong 18 tuần kể từ khi trồng, các kĩ sư,thuộc một trung tâm giống cây trồng nhận thấy: Chiều cao,thân cây sau ttuần kể từ khi trồng được tính xấp xỉ bởi hàm,số $h(t)=50\log_3(2t+1)+10$ (đơn vị: centimet, $0\leq t\leq18).$ Sau 8 tuần kể,từ khi trồng, hoa bắt đầu kết trái. Kể từ đó, đường kính trái cà,chua ở tuần thứ xấp xi bởởi hàmss $d(t)=3^{\frac{2x-15}{t-7}-3}($ ( đơn vị:,$centimet,8\leq t\leq18).$,a) Khi được 4 tuần tuổi, chiều cao của thân cây cà chua là,110 cm.,b) Tốc độ tăng trưởng chiều cao của thân cây cà chua ở tuần,thứ 7 (làm tròn đến hàng phần trăm) là 6,07 cm/tuần).,c) Chiều cao của thân cây cà chua liên tục tăng trong suốt 18,tuần.,d) Sau 4 tuần kể từ khi kết trái, đường kính trái cà chua lớn,hơn 9,98 cm.

Question

Accepted Answer

Câu 1.
Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một.

Bước 1: Xác định biểu thức của $ T(t) $
Biểu thức của $ T(t) $ được cho là:
$$ T(t) = \int T'(t) \, dt $$
Trong đó $ T'(t) = -150 e^{-2t} $.

Bước 2: Tính tích phân của $ T'(t) $
$$ T(t) = \int -150 e^{-2t} \, dt $$

Áp dụng công thức tích phân cơ bản:
$$ \int e^{ax} \, dx = \frac{1}{a} e^{ax} + C $$

Do đó:
$$ T(t) = -150 \int e^{-2t} \, dt = -150 \left( \frac{1}{-2} e^{-2t} \right) + C = 75 e^{-2t} + C $$

Bước 3: Xác định hằng số $ C $ bằng điều kiện ban đầu
Ta biết rằng khi $ t = 0 $, nhiệt độ của vật là $ 100^{\circ}C $:
$$ T(0) = 75 e^{-2 \cdot 0} + C = 75 + C = 100 $$
$$ C = 100 - 75 = 25 $$

Vậy biểu thức của $ T(t) $ là:
$$ T(t) = 75 e^{-2t} + 25 $$

Bước 4: Kiểm tra các lựa chọn
a) Nhiệt độ của vật tại thời điểm $ t = 3 $ phút:
$$ T(3) = 75 e^{-2 \cdot 3} + 25 = 75 e^{-6} + 25 $$

b) $ T(t) = 75 e^{-2t} + 20 $ (sai vì $ C = 25 $)

c) Tốc độ giảm nhiệt độ của vật tăng dần theo thời gian (sai vì $ T'(t) = -150 e^{-2t} $ giảm dần theo thời gian)

d) $ T(t) = \int T'(t) \, dt $ với $ T(0) = 100 $ (đúng)

Kết luận
Đáp án đúng là:
$$ d)~T(t) = \int T'(t) \, dt \text{ với } T(0) = 100 $$

Câu 2.
a) Hình chiếu vuông góc của A trên (Oxy) là H(0;2;3)

b) Góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (P) (làm tròn đến hàng đơn vị) là $60^0$

c) Điểm M thuộc mặt phẳng (P).

d) Giả sử viên đạn chuyển động thẳng đều theo hướng vecto $V(-2;-2;-18)$ với vận tốc 300m/s (bỏ qua mọi lực cản và chướng ngại vật), sau một phút bắn ra đi qua điểm M.

Giải:

a) Hình chiếu vuông góc của A trên (Oxy) là H(0;2;3)

b) Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (P)

Ta có $\overrightarrow{AB}=(1;1;9)$

Phương pháp: Tính $\sin \alpha = \frac{|\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AB}|.|\overrightarrow{n}|}$

$\overrightarrow{n}=(4;-1;2)$

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{n}=4-1+18=21$

$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{1+1+81}=\sqrt{83}$

$|\overrightarrow{n}|=\sqrt{16+1+4}=\sqrt{21}$

$\Rightarrow \sin \alpha = \frac{21}{\sqrt{83}.\sqrt{21}}=\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{83}}$

$\Rightarrow \alpha \approx 60^0$

c) Ta có $\overrightarrow{AB}=(1;1;9)$

Phương pháp: Viết phương trình đường thẳng AB: $\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{9}=t$

$\Rightarrow A(1+t;2+t;3+9t)$

Thay vào phương trình mặt phẳng ta có: $4(1+t)-(2+t)+2(3+9t)+13=0$

$\Rightarrow t=-1$

$\Rightarrow M(0;1;-6)$

d) Giả sử viên đạn chuyển động thẳng đều theo hướng vecto $V(-2;-2;-18)$ với vận tốc 300m/s (bỏ qua mọi lực cản và chướng ngại vật), sau một phút bắn ra đi qua điểm M.

Phương pháp: Xác định khoảng thời gian từ A đến M là t giây

$\Rightarrow \overrightarrow{AM}=t.\overrightarrow{V}$

$\Rightarrow t=\frac{|\overrightarrow{AM}|}{|\overrightarrow{V}|}$

Ta có $\overrightarrow{AM}=(-1;-1;-9)$

$|\overrightarrow{AM}|=\sqrt{1+1+81}=\sqrt{83}$

$|\overrightarrow{V}|=\sqrt{4+4+324}=\sqrt{332}$

$\Rightarrow t=\frac{\sqrt{83}}{\sqrt{332}}=\frac{1}{2}$ (phút)

$\Rightarrow$ Sau nửa phút viên đạn đi qua điểm M

Câu 3.
a) Đồ thị (C) cắt đường thẳng $y=x+3$ tại hai điểm phân biệt:
- Để tìm giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng $y=x+3$, ta giải phương trình $\frac{3x+2}{x-2} = x + 3$.
- Nhân cả hai vế với $(x - 2)$ để loại bỏ mẫu số: $3x + 2 = (x + 3)(x - 2)$.
- Rút gọn và sắp xếp lại phương trình: $3x + 2 = x^2 + x - 6$.
- Chuyển tất cả các hạng tử về một vế: $0 = x^2 - 2x - 8$.
- Giải phương trình bậc hai: $x^2 - 2x - 8 = 0$.
- Tìm nghiệm của phương trình: $(x - 4)(x + 2) = 0$.
- Nghiệm của phương trình là $x = 4$ hoặc $x = -2$.
- Thay các giá trị này vào phương trình $y = x + 3$ để tìm tọa độ giao điểm: 
  - Khi $x = 4$, $y = 4 + 3 = 7$. Giao điểm là $(4, 7)$.
  - Khi $x = -2$, $y = -2 + 3 = 1$. Giao điểm là $(-2, 1)$.
- Vậy đồ thị (C) cắt đường thẳng $y = x + 3$ tại hai điểm phân biệt $(4, 7)$ và $(-2, 1)$.

b) Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục Oy là đường thẳng $y = -2x + 1$:
- Giao điểm của đồ thị (C) với trục Oy là điểm có hoành độ $x = 0$. Thay $x = 0$ vào phương trình hàm số: $y = \frac{3(0) + 2}{0 - 2} = -1$. Giao điểm là $(0, -1)$.
- Để tìm tiếp tuyến tại điểm $(0, -1)$, ta tính đạo hàm của hàm số $y = \frac{3x + 2}{x - 2}$.
- Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương: $y' = \frac{(3)(x - 2) - (3x + 2)(1)}{(x - 2)^2} = \frac{3x - 6 - 3x - 2}{(x - 2)^2} = \frac{-8}{(x - 2)^2}$.
- Thay $x = 0$ vào đạo hàm: $y'(0) = \frac{-8}{(0 - 2)^2} = \frac{-8}{4} = -2$.
- Phương trình tiếp tuyến tại điểm $(0, -1)$ là $y = y'(0)(x - 0) + (-1) = -2x - 1$.
- Vậy tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục Oy là đường thẳng $y = -2x - 1$, không phải là $y = -2x + 1$.

c) Đường thẳng $y = 3$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số (C):
- Tiệm cận đứng của hàm số $y = \frac{3x + 2}{x - 2}$ là đường thẳng $x = 2$ (vì mẫu số bằng 0 khi $x = 2$).
- Đường thẳng $y = 3$ không phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số (C).

d) Điểm I(2;3) là giao điểm của các đường tiệm cận của đồ thị (C):
- Đường tiệm cận đứng của đồ thị (C) là $x = 2$.
- Đường tiệm cận ngang của đồ thị (C) là $y = 3$ (vì khi $x$ tiến đến vô cùng, $\frac{3x + 2}{x - 2}$ tiến đến 3).
- Giao điểm của các đường tiệm cận là $(2, 3)$, đúng là điểm I(2;3).

Kết luận:
- Đáp án đúng là d) Điểm I(2;3) là giao điểm của các đường tiệm cận của đồ thị (C).

Câu 4.
a) Khi được 4 tuần tuổi, ta thay $ t = 4 $ vào hàm số $ h(t) $:

$$ h(4) = 50 \log_3(2 \cdot 4 + 1) + 10 = 50 \log_3(9) + 10 = 50 \cdot 2 + 10 = 110 \text{ cm} $$

Vậy, khi được 4 tuần tuổi, chiều cao của thân cây cà chua là 110 cm.

b) Tốc độ tăng trưởng chiều cao của thân cây cà chua ở tuần thứ 7 là đạo hàm của hàm số $ h(t) $ tại $ t = 7 $.

Tính đạo hàm của $ h(t) $:

$$ h'(t) = 50 \cdot \frac{1}{(2t+1) \ln 3} \cdot 2 = \frac{100}{(2t+1) \ln 3} $$

Thay $ t = 7 $ vào đạo hàm:

$$ h'(7) = \frac{100}{(2 \cdot 7 + 1) \ln 3} = \frac{100}{15 \ln 3} \approx \frac{100}{15 \cdot 1.0986} \approx \frac{100}{16.479} \approx 6.07 \text{ cm/tuần} $$

Vậy, tốc độ tăng trưởng chiều cao của thân cây cà chua ở tuần thứ 7 là khoảng 6,07 cm/tuần.

c) Để kiểm tra chiều cao của thân cây cà chua có liên tục tăng trong suốt 18 tuần, ta cần kiểm tra đạo hàm $ h'(t) $:

$$ h'(t) = \frac{100}{(2t+1) \ln 3} $$

Vì $ 2t + 1 > 0 $ và $ \ln 3 > 0 $ cho mọi $ t \geq 0 $, nên $ h'(t) > 0 $ cho mọi $ t \geq 0 $. Do đó, hàm số $ h(t) $ luôn tăng trên đoạn $ [0, 18] $.

Vậy, chiều cao của thân cây cà chua liên tục tăng trong suốt 18 tuần.

d) Đường kính trái cà chua sau 4 tuần kể từ khi kết trái (tức là sau 12 tuần kể từ khi trồng) là:

$$ d(12) = 3^{\frac{2 \cdot 12 - 15}{12 - 7} - 3} = 3^{\frac{24 - 15}{5} - 3} = 3^{\frac{9}{5} - 3} = 3^{1.8 - 3} = 3^{-1.2} $$

Tính $ 3^{-1.2} $:

$$ 3^{-1.2} \approx 0.299 \text{ cm} $$

Vậy, sau 4 tuần kể từ khi kết trái, đường kính trái cà chua là khoảng 0,299 cm, nhỏ hơn 9,98 cm.

Đáp án đúng là: a, b, c.