Giải đi ae ahah

Câu 4. a) Ta có: - Vector $\overrightarrow{BC} = (-3 + 1, -2 - 4) = (-2, -6)$ - Đường thẳng $AH$ vuông góc với $BC$, do đó vector pháp tuyến của $AH$ là $\vec{n}_{AH} = (6, -2)$ Phương trình tổng quát của đường thẳng $AH$ đi qua điểm $A(2, 3)$ và có vector pháp tuyến $\vec{n}_{AH} = (6, -2)$ là: \[ 6(x - 2) - 2(y - 3) = 0 \] \[ 6x - 12 - 2y + 6 = 0 \] \[ 6x - 2y - 6 = 0 \] \[ 3x - y - 3 = 0 \] b) Ta cần viết phương trình chính tắc của đường tròn đường kính $BC$. - Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng $BC$ là tâm của đường tròn: \[ M = \left( \frac{-1 + (-3)}{2}, \frac{4 + (-2)}{2} \right) = \left( \frac{-4}{2}, \frac{2}{2} \right) = (-2, 1) \] - Bán kính của đường tròn là khoảng cách từ tâm $M$ đến một trong hai đầu mút của đường kính $BC$. Ta tính khoảng cách từ $M$ đến $B$: \[ MB = \sqrt{(-1 + 2)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \] Phương trình chính tắc của đường tròn tâm $M(-2, 1)$ và bán kính $\sqrt{10}$ là: \[ (x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 10 \] Đáp số: a) Phương trình tổng quát của đường cao $AH$: $3x - y - 3 = 0$ b) Phương trình chính tắc của đường tròn đường kính $BC$: $(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 10$ Câu 3. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm giá trị của \( n \): - Ta có điều kiện \( 5C^{n-1}_n - C^3_n = 0 \). - Biết rằng \( C^{n-1}_n = n \) và \( C^3_n = \frac{n(n-1)(n-2)}{6} \). Thay vào phương trình: \[ 5n - \frac{n(n-1)(n-2)}{6} = 0 \] Nhân cả hai vế với 6 để loại bỏ mẫu số: \[ 30n - n(n-1)(n-2) = 0 \] Rút \( n \) ra ngoài: \[ n[30 - (n-1)(n-2)] = 0 \] Vì \( n \) là số nguyên dương, nên \( n \neq 0 \). Do đó: \[ 30 - (n-1)(n-2) = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ (n-1)(n-2) = 30 \] Tìm các giá trị \( n \): \[ n^2 - 3n + 2 = 30 \implies n^2 - 3n - 28 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ n = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 112}}{2} = \frac{3 \pm 11}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ n = 7 \quad \text{hoặc} \quad n = -4 \] Vì \( n \) là số nguyên dương, nên \( n = 7 \). 2. Tìm hệ số của số hạng chứa \( x^5 \) trong khai triển nhị thức Niu-tơn của \( \left(\frac{x^2}{2} - \frac{1}{x}\right)^7 \): - Khai triển nhị thức Niu-tơn: \[ \left(\frac{x^2}{2} - \frac{1}{x}\right)^7 = \sum_{k=0}^{7} C^k_7 \left(\frac{x^2}{2}\right)^{7-k} \left(-\frac{1}{x}\right)^k \] - Số hạng tổng quát: \[ T_k = C^k_7 \left(\frac{x^2}{2}\right)^{7-k} \left(-\frac{1}{x}\right)^k = C^k_7 \left(\frac{1}{2}\right)^{7-k} x^{2(7-k)} (-1)^k x^{-k} \] \[ T_k = C^k_7 \left(\frac{1}{2}\right)^{7-k} (-1)^k x^{14-3k} \] Để số hạng chứa \( x^5 \), ta cần: \[ 14 - 3k = 5 \implies 3k = 9 \implies k = 3 \] Thay \( k = 3 \) vào số hạng tổng quát: \[ T_3 = C^3_7 \left(\frac{1}{2}\right)^{4} (-1)^3 x^5 \] \[ T_3 = 35 \cdot \frac{1}{16} \cdot (-1) x^5 = -\frac{35}{16} x^5 \] Vậy hệ số của số hạng chứa \( x^5 \) là: \[ -\frac{35}{16} \] Đáp số: \(-\frac{35}{16}\)