đề 3 toán trả lời ngắn và tự luận

Câu 1: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng công thức tăng trưởng mũ $$. Bước 1: Xác định các thông số ban đầu. - Số vi khuẩn ban đầu $$. - Sau 1 giờ, số vi khuẩn là 705 con. Bước 2: Thay vào công thức để tìm giá trị của $$. $$ $$ $$ $$ Bước 3: Tìm giá trị của $$ bằng cách lấy logarit tự nhiên của cả hai vế: $$ Bước 4: Tính giá trị của $$: $$ Bước 5: Thay $$ và $$ vào công thức để tìm số vi khuẩn sau 5 giờ: $$ $$ Bước 6: Tính giá trị của $$: $$ Bước 7: Tính số vi khuẩn sau 5 giờ: $$ Vậy số vi khuẩn sau 5 giờ là khoảng 21291 con. Câu 2: Để tính số đo của góc nhị diện tạo bởi hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa hai mái nhà, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm góc giữa hai đường thẳng OA và OB: - Ta có $$ và $$. - Áp dụng công thức tính cosin trong tam giác: $$ Thay các giá trị vào: $$ 2. Tính góc $$: - Sử dụng máy tính để tìm giá trị của góc: $$ 3. Tính góc nhị diện: - Góc nhị diện giữa hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa hai mái nhà sẽ là góc giữa hai đường thẳng OA và OB. - Vậy góc nhị diện là: $$ Đáp số: Góc nhị diện tạo bởi hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa hai mái nhà là $$. Câu 3: Gọi $$ là sự kiện "Anh Hà bị lây bệnh từ người bệnh mà anh tiếp xúc đó". Có hai trường hợp xảy ra: - Trường hợp 1: Anh Hà bị lây bệnh khi tiếp xúc lần đầu không đeo khẩu trang và lần thứ hai đeo khẩu trang. - Trường hợp 2: Anh Hà bị lây bệnh khi tiếp xúc lần đầu đeo khẩu trang và lần thứ hai không đeo khẩu trang. Xác suất của mỗi trường hợp: - Xác suất của trường hợp 1: $$ - Xác suất của trường hợp 2: $$ Vậy xác suất anh Hà bị lây bệnh từ người bệnh mà anh tiếp xúc đó là: $$ Đáp số: 0,27 Câu 1: Để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại tiếp điểm $$, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số $$: $$ 2. Tính giá trị đạo hàm tại điểm $$: $$ Vậy hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $$ là $$. 3. Viết phương trình tiếp tuyến: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm $$ với hệ số góc $$ là: $$ Thay $$, $$, và $$ vào phương trình trên, ta được: $$ Rút gọn phương trình này: $$ $$ Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại tiếp điểm $$ là: $$ Câu 2: Để tính xác suất để 4 học sinh lên bảng có cả nam và nữ, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tổng số cách chọn 4 học sinh từ 40 học sinh: Số cách chọn 4 học sinh từ 40 học sinh là: $$ 2. Tìm số cách chọn 4 học sinh đều là nam hoặc đều là nữ: - Số cách chọn 4 học sinh nam từ 15 học sinh nam: $$ - Số cách chọn 4 học sinh nữ từ 25 học sinh nữ: $$ 3. Tính số cách chọn 4 học sinh có cả nam và nữ: Số cách chọn 4 học sinh có cả nam và nữ là tổng số cách chọn 4 học sinh trừ đi số cách chọn 4 học sinh đều là nam hoặc đều là nữ: $$ 4. Tính xác suất: Xác suất để 4 học sinh lên bảng có cả nam và nữ là: $$ Bây giờ, chúng ta sẽ tính cụ thể từng giá trị: $$ $$ $$ Số cách chọn 4 học sinh có cả nam và nữ: $$ Xác suất: $$ Vậy xác suất để 4 học sinh lên bảng có cả nam và nữ là khoảng 0.846. Câu 3: Để tính xác suất hạt lúa và hạt đậu không nảy mầm, ta làm như sau: 1. Tìm xác suất hạt lúa không nảy mầm: - Xác suất nảy mầm của hạt lúa là 0,85. - Do đó, xác suất hạt lúa không nảy mầm là: $$ 2. Tìm xác suất hạt đậu không nảy mầm: - Xác suất nảy mầm của hạt đậu là 0,8. - Do đó, xác suất hạt đậu không nảy mầm là: $$ 3. Tính xác suất cả hạt lúa và hạt đậu không nảy mầm: - Vì hai sự kiện này là độc lập, xác suất cả hai hạt không nảy mầm là tích của xác suất mỗi hạt không nảy mầm: $$ Vậy xác suất hạt lúa và hạt đậu không nảy mầm là 0,03. Câu 4: a) Ta có $$ nên $$ Góc giữa cạnh bên SC với mặt đáy bằng $$ nên $$ Do đó tam giác SAC là tam giác vuông cân tại A, suy ra $$ Thể tích khối chóp SABCD là $$ b) Ta có $$ Gọi O là tâm hình vuông ABCD, ta có $$ Kẻ $$ tại H, ta có $$ Mà $$ suy ra $$ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BD và MN bằng khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng SD, do đó bằng độ dài đoạn OH. Ta có $$ Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BD và MN là $$ Câu 5: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm vận tốc của vật: Vận tốc $$ là đạo hàm của phương trình chuyển động $$: $$ Áp dụng công thức đạo hàm của sin: $$ 2. Tìm thời điểm vận tốc bằng 0: Vận tốc bằng 0 khi: $$ Điều này xảy ra khi: $$ Biết rằng cos(x) = 0 khi $$ (k là số nguyên), ta có: $$ Giải phương trình này: $$ $$ $$ $$ $$ $$ 3. Tìm gia tốc của vật: Gia tốc $$ là đạo hàm của vận tốc $$: $$ Áp dụng công thức đạo hàm của cos: $$ $$ 4. Tính giá trị tuyệt đối của gia tốc tại các thời điểm vận tốc bằng 0: Tại các thời điểm $$, ta có: $$ Do đó: $$ Biết rằng $$, ta có: $$ Giá trị tuyệt đối của gia tốc: $$ Tính toán: $$ Vậy giá trị tuyệt đối của gia tốc của vật là khoảng 6,3 cm/s². Câu 29. a) Tính đạo hàm của $$ tại điểm $$ Đạo hàm của $$ là: $$ Tại điểm $$, ta có: $$ b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết rằng tiếp tuyến song song với đường thẳng: $$ Đường thẳng $$ có hệ số góc là $$. Tiếp tuyến song song với đường thẳng này cũng sẽ có hệ số góc là $$. Do đó, ta cần tìm điểm trên đồ thị $$ sao cho đạo hàm tại điểm đó bằng $$. Ta có: $$ Đặt $$: $$ $$ $$ $$ $$ Tại điểm $$, ta tính giá trị của hàm số: $$ Vậy điểm tiếp xúc là $$. Phương trình tiếp tuyến tại điểm này là: $$ $$ $$ Đáp số: a) Đạo hàm của $$ tại điểm $$ là $$. b) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị $$ là $$. Câu 30. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm giao điểm của đồ thị $$ với trục tung: - Giao điểm của đồ thị với trục tung là điểm có hoành độ bằng 0. - Thay $$ vào phương trình hàm số: $$ - Vậy giao điểm của $$ với trục tung là $$. 2. Tìm phương trình tiếp tuyến của $$ tại giao điểm với trục tung: - Đạo hàm của hàm số $$ là: $$ - Tại điểm $$, đạo hàm là: $$ - Phương trình tiếp tuyến tại điểm $$ là: $$ $$ 3. Tìm giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành: - Thay $$ vào phương trình tiếp tuyến: $$ $$ $$ - Vậy giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành là $$. 4. Tính diện tích tam giác tạo bởi tiếp tuyến và hai trục tọa độ: - Diện tích tam giác là: $$ - Độ dài đoạn trên trục tung là $$. - Độ dài đoạn trên trục hoành là $$. - Diện tích tam giác là: $$ $$ - Ta biết diện tích tam giác bằng 8: $$ $$ $$ 5. Giải phương trình $$: - Xét hai trường hợp: - Trường hợp 1: $$ $$ $$ $$ Giải phương trình bậc hai: $$ Vì $$, ta có: $$ - Trường hợp 2: $$ $$ $$ $$ Giải phương trình bậc hai: $$ Vì $$, ta có: $$ Vậy các giá trị của $$ để tiếp tuyến của $$ tại giao điểm của nó với trục tung tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8 là: $$ Câu 31. a) Chứng minh mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SBD): - Vì SA vuông góc với mặt đáy ABCD, nên SA vuông góc với AC và SA vuông góc với BD. - Mặt khác, vì ABCD là hình vuông tâm O, nên AC vuông góc với BD tại O. - Do đó, BD vuông góc với cả SA và AC, suy ra BD vuông góc với mặt phẳng (SAC). - Vậy mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SBD). b) Tính khoảng cách d từ O đến mặt phẳng SBC: - Xét tam giác SBC, ta có SB = SC = $$. - Diện tích tam giác SBC là $$. - Diện tích tam giác SBC cũng có thể tính qua diện tích tam giác SBO và SBO, mỗi tam giác có diện tích là $$. - Tổng diện tích tam giác SBO và SBO là $$. - Khoảng cách d từ O đến mặt phẳng SBC là $$. Đáp số: a) Mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SBD). b) Khoảng cách d từ O đến mặt phẳng SBC là $$. Câu 32. Để tính thể tích khối chóp S.ABCD, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các thông số cơ bản: - Cạnh đáy ABCD là hình vuông với cạnh bằng 4a. - Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD là 2a. 2. Tìm chiều cao của khối chóp: - Vì S.ABCD là hình chóp đều, đỉnh S nằm trên đường thẳng vuông góc với tâm O của đáy ABCD. - Ta cần tìm chiều cao SO của chóp S.ABCD. 3. Xác định khoảng cách giữa SA và CD: - Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD là khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ACD). - Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ S xuống mặt phẳng (ACD). Khi đó SH chính là khoảng cách giữa SA và CD, tức là SH = 2a. 4. Tính diện tích đáy ABCD: - Diện tích đáy ABCD là: $$ 5. Tính chiều cao SO của chóp: - Ta biết rằng SO là đường cao của chóp S.ABCD và cũng là đường cao của tam giác SAD (vì S.ABCD là chóp đều). - Ta cần tìm SO. Để làm điều này, ta xét tam giác SAD, trong đó AD = 4a và SA = SD (do chóp đều). 6. Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp: - Thể tích khối chóp S.ABCD được tính bằng công thức: $$ - Ta đã biết $$, còn cần tìm SO. 7. Xác định SO: - Ta biết SH = 2a và H là chân đường vuông góc từ S xuống mặt phẳng (ACD). - Ta cần tìm SO, ta xét tam giác SOH vuông tại H. - Ta biết OH là khoảng cách từ tâm O của đáy ABCD đến đường thẳng AD, tức là OH = 2a (vì O là tâm của hình vuông ABCD và OH là bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD chia đôi cạnh đáy). 8. Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác SOH: - Ta có: $$ $$ $$ 9. Tính thể tích khối chóp S.ABCD: - Thay vào công thức thể tích: $$ Đáp số: $$