Câu 1.
Để tính tổng các nghiệm của phương trình , chúng ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Viết lại phương trình dưới dạng cùng cơ số:
Bước 2: So sánh các mũ của cơ số 2:
Bước 3: Giải phương trình để tìm giá trị của :
Bước 4: Kiểm tra điều kiện xác định (ĐKXĐ):
Phương trình đã cho là . Vì đây là phương trình mũ với cơ số dương, nên không có điều kiện hạn chế nào khác ngoài việc phải là số thực.
Bước 5: Kết luận nghiệm của phương trình:
Phương trình có nghiệm duy nhất là .
Vậy tổng các nghiệm của phương trình là:
Đáp số:
Câu 2.
Để tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm , ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số .
Bước 2: Tính giá trị của đạo hàm tại điểm .
Vậy hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm là .
Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm .
Phương trình tiếp tuyến có dạng:
Thay , , và vào phương trình trên:
Bước 4: So sánh với phương trình để xác định và .
Bước 5: Tính .
Vậy .
Câu 3.
Gọi O là tâm của đáy ABCD, H là trung điểm của CD. Ta có:
- Mặt bên ACD là tam giác đều nên AH là đường cao của tam giác ACD.
- Mặt đáy ABCD là hình vuông nên OH vuông góc với CD.
- Mặt bên ACD vuông góc với mặt đáy ABCD theo đường giao tuyến CD nên AH vuông góc với mặt đáy ABCD.
- Vậy góc AHO là góc giữa mặt bên ACD và mặt đáy ABCD.
Ta có:
Đáp số: Góc giữa mặt bên và mặt đáy của kim tự tháp là 32,5°.
Câu 4.
Để tính xác suất của hộ gia đình không nuôi cả chó và mèo, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Tính tổng số hộ nuôi chó hoặc mèo:
- Số hộ nuôi chó: 88 hộ
- Số hộ nuôi mèo: 16 hộ
- Số hộ nuôi cả chó và mèo: 7 hộ
Theo công thức tính số phần tử của hai tập hợp giao nhau:
Ta có:
2. Tính số hộ không nuôi chó hoặc mèo:
Tổng số hộ gia đình trong khu phố là 55 hộ. Số hộ không nuôi chó hoặc mèo là:
Điều này không hợp lý vì số hộ không thể âm. Do đó, ta cần kiểm tra lại dữ liệu đã cho. Nếu dữ liệu đúng, thì tất cả các hộ đều nuôi chó hoặc mèo, hoặc cả chó và mèo.
3. Tính xác suất của hộ gia đình không nuôi chó hoặc mèo:
Vì tất cả các hộ đều nuôi chó hoặc mèo, hoặc cả chó và mèo, nên xác suất của hộ gia đình không nuôi chó hoặc mèo là:
Đáp số: Xác suất để hộ gia đình không nuôi cả chó và mèo là 0.
Câu 1.
a) Số cách chọn ngẫu nhiên 3 tấm thẻ từ 3 hộp là cách.
- Biến cố A xảy ra khi tổng các số trên 3 tấm thẻ là 6. Các trường hợp có thể là (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1). Vậy có 6 trường hợp.
Suy ra .
- Biến cố B xảy ra khi 3 tấm thẻ có cùng số. Các trường hợp có thể là (1, 1, 1), (2, 2, 2), (3, 3, 3). Vậy có 3 trường hợp.
Suy ra .
b) Biến cố A và B đồng thời xảy ra khi 3 tấm thẻ có cùng số và tổng các số trên 3 tấm thẻ là 6. Các trường hợp có thể là (2, 2, 2). Vậy có 1 trường hợp.
Suy ra .
Ta có .
Vậy A và B không độc lập.
Câu 2.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Tính thể tích của khối lăng trụ tứ giác đều.
2. Tính thể tích của khối chóp tứ giác đều.
3. Tính tổng thể tích của cả thiết bị.
4. Tính số tiền mua kim loại dựa trên thể tích và giá tiền đã cho.
Bước 1: Tính thể tích của khối lăng trụ tứ giác đều
Khối lăng trụ tứ giác đều có đáy là hình vuông cạnh và chiều cao .
Thể tích của khối lăng trụ tứ giác đều:
Giả sử cạnh đáy và chiều cao :
Bước 2: Tính thể tích của khối chóp tứ giác đều
Khối chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông cạnh và chiều cao .
Thể tích của khối chóp tứ giác đều:
Giả sử cạnh đáy và chiều cao :
Bước 3: Tính tổng thể tích của cả thiết bị
Tổng thể tích của cả thiết bị:
Bước 4: Tính số tiền mua kim loại
Giá tiền mua kim loại là 2500 đồng/cm³.
Số tiền mua kim loại:
Chuyển đổi sang nghìn đồng và làm tròn đến hàng đơn vị:
Kết luận
Số tiền mua kim loại dùng để làm thiết bị đó là 729 nghìn đồng.
Đáp số: 729 nghìn đồng.
Câu 3.
a) Ta có .
Phương trình tiếp tuyến của (P) tại điểm là: , tức là .
b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và đường thẳng : ,
,
,
hoặc .
Vậy hai giao điểm là và .
Ta có .
Phương trình tiếp tuyến của (P) tại điểm là: , tức là .
Phương trình tiếp tuyến của (P) tại điểm là: , tức là .