Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Giải phương trình $x^2+\frac1{x^2}+y^2+\frac1{y^2}=4.$

Question

Accepted Answer

Để giải phương trình $x^2 + \frac{1}{x^2} + y^2 + \frac{1}{y^2} = 4$, ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ)
- Điều kiện xác định: $x 
eq 0$ và $y 
eq 0$.

Bước 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
- Ta biết rằng: $a^2 + \frac{1}{a^2} \geq 2$ với mọi số thực $a 
eq 0$. 
- Do đó, $x^2 + \frac{1}{x^2} \geq 2$ và $y^2 + \frac{1}{y^2} \geq 2$.

Bước 3: Cộng các bất đẳng thức
- Từ đó ta có: $x^2 + \frac{1}{x^2} + y^2 + \frac{1}{y^2} \geq 2 + 2 = 4$.

Bước 4: Xét điều kiện để phương trình bằng 4
- Để phương trình $x^2 + \frac{1}{x^2} + y^2 + \frac{1}{y^2} = 4$ đúng, thì phải có:
  - $x^2 + \frac{1}{x^2} = 2$
  - $y^2 + \frac{1}{y^2} = 2$

Bước 5: Giải các phương trình
- Ta có $x^2 + \frac{1}{x^2} = 2$. Nhân cả hai vế với $x^2$ ta được:
  - $x^4 + 1 = 2x^2$
  - $x^4 - 2x^2 + 1 = 0$
  - $(x^2 - 1)^2 = 0$
  - $x^2 - 1 = 0$
  - $x^2 = 1$
  - $x = 1$ hoặc $x = -1$

- Tương tự, ta cũng có $y^2 + \frac{1}{y^2} = 2$. Nhân cả hai vế với $y^2$ ta được:
  - $y^4 + 1 = 2y^2$
  - $y^4 - 2y^2 + 1 = 0$
  - $(y^2 - 1)^2 = 0$
  - $y^2 - 1 = 0$
  - $y^2 = 1$
  - $y = 1$ hoặc $y = -1$

Bước 6: Kết luận nghiệm
- Vậy phương trình $x^2 + \frac{1}{x^2} + y^2 + \frac{1}{y^2} = 4$ có các nghiệm là:
  - $(x, y) = (1, 1)$
  - $(x, y) = (1, -1)$
  - $(x, y) = (-1, 1)$
  - $(x, y) = (-1, -1)$

Đáp số: $(1, 1)$, $(1, -1)$, $(-1, 1)$, $(-1, -1)$.