bebebjdjejr Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2, SA vuông góc,với mặt đáy(ABCD) và góc giữa SC với mặt phẳng (SAB) bằng $30^0.$ Gọi M là điểm,di động trên cạnh CD và H là hình chiếu vuông góc của S lên đường thẳng BM.,Tìm thể tích lớn nhất của khối chóp S.ABH .,cân là mặt các tế nhi TB SA. DT

Question

Accepted Answer

Câu 3.
Để tìm thể tích lớn nhất của khối chóp S.ABH, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm chiều cao SA:
   - Vì SA vuông góc với mặt đáy (ABCD), nên SA là chiều cao của chóp S.ABCD.
   - Xét tam giác SBC trong đó SB là đường cao hạ từ S xuống BC. 
   - Ta có góc giữa SC và mặt phẳng (SAB) bằng $30^0$. Do đó, góc giữa SC và SB cũng bằng $30^0$.
   - Trong tam giác vuông SBC, ta có:
     $$
     \sin(30^0) = \frac{SA}{SC}
     $$
     $$
     \frac{1}{2} = \frac{SA}{\sqrt{SA^2 + 4}}
     $$
     $$
     SA = \sqrt{SA^2 + 4} \times \frac{1}{2}
     $$
     $$
     2SA = \sqrt{SA^2 + 4}
     $$
     $$
     4SA^2 = SA^2 + 4
     $$
     $$
     3SA^2 = 4
     $$
     $$
     SA^2 = \frac{4}{3}
     $$
     $$
     SA = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}
     $$

2. Tìm diện tích đáy ABCD:
   - Diện tích đáy ABCD là:
     $$
     S_{ABCD} = 2 \times 2 = 4
     $$

3. Tìm diện tích tam giác ABM:
   - Gọi M là điểm di động trên cạnh CD, ta có thể coi M chia CD thành hai đoạn CM và MD.
   - Diện tích tam giác ABM sẽ thay đổi theo vị trí của M trên CD.
   - Diện tích tam giác ABM là:
     $$
     S_{ABM} = \frac{1}{2} \times AB \times CM = \frac{1}{2} \times 2 \times CM = CM
     $$

4. Tìm thể tích khối chóp S.ABM:
   - Thể tích khối chóp S.ABM là:
     $$
     V_{S.ABM} = \frac{1}{3} \times S_{ABM} \times SA = \frac{1}{3} \times CM \times \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{9} \times CM
     $$

5. Tìm thể tích lớn nhất của khối chóp S.ABH:
   - Để thể tích lớn nhất, ta cần diện tích tam giác ABM lớn nhất.
   - Diện tích tam giác ABM lớn nhất khi M trùng với D, tức là CM = 2.
   - Vậy thể tích lớn nhất của khối chóp S.ABH là:
     $$
     V_{S.ABH} = \frac{2\sqrt{3}}{9} \times 2 = \frac{4\sqrt{3}}{9}
     $$

Đáp số: Thể tích lớn nhất của khối chóp S.ABH là $\frac{4\sqrt{3}}{9}$.