Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=x mũ3 - 5x mũ2 -2x+1
a,tại điểm M(0;1)
b, tại điểm có hoành độ x=2
c, tại điểm có hệ số góc k=2

Question

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=x mũ3 - 5x mũ2 -2x+1 
a,tại điểm M(0;1) 
b, tại điểm có hoành độ x=2
c, tại điểm có hệ số góc k=2

Accepted Answer

Để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $ y = x^3 - 5x^2 - 2x + 1 $ tại các điểm đã cho, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số
Hàm số đã cho là $ y = x^3 - 5x^2 - 2x + 1 $.

Tính đạo hàm:
$$ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 5x^2 - 2x + 1) = 3x^2 - 10x - 2 $$

Bước 2: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M(0;1)
- Tìm giá trị của đạo hàm tại điểm $ x = 0 $:
$$ y'(0) = 3(0)^2 - 10(0) - 2 = -2 $$
- Phương trình tiếp tuyến tại điểm $ M(0;1) $ có dạng:
$$ y - y_1 = y'(x_1)(x - x_1) $$
$$ y - 1 = -2(x - 0) $$
$$ y = -2x + 1 $$

Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $ x = 2 $
- Tìm giá trị của đạo hàm tại điểm $ x = 2 $:
$$ y'(2) = 3(2)^2 - 10(2) - 2 = 12 - 20 - 2 = -10 $$
- Tìm giá trị của hàm số tại điểm $ x = 2 $:
$$ y(2) = (2)^3 - 5(2)^2 - 2(2) + 1 = 8 - 20 - 4 + 1 = -15 $$
- Phương trình tiếp tuyến tại điểm $ (2, -15) $ có dạng:
$$ y - (-15) = -10(x - 2) $$
$$ y + 15 = -10x + 20 $$
$$ y = -10x + 5 $$

Bước 4: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hệ số góc $ k = 2 $
- Tìm giá trị của $ x $ sao cho đạo hàm bằng 2:
$$ y' = 3x^2 - 10x - 2 = 2 $$
$$ 3x^2 - 10x - 4 = 0 $$
Giải phương trình bậc hai này:
$$ x = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 48}}{6} = \frac{10 \pm \sqrt{148}}{6} = \frac{10 \pm 2\sqrt{37}}{6} = \frac{5 \pm \sqrt{37}}{3} $$
- Ta có hai giá trị $ x_1 = \frac{5 + \sqrt{37}}{3} $ và $ x_2 = \frac{5 - \sqrt{37}}{3} $.

- Tìm giá trị của hàm số tại hai điểm này:
$$ y\left(\frac{5 + \sqrt{37}}{3}\right) = \left(\frac{5 + \sqrt{37}}{3}\right)^3 - 5\left(\frac{5 + \sqrt{37}}{3}\right)^2 - 2\left(\frac{5 + \sqrt{37}}{3}\right) + 1 $$
$$ y\left(\frac{5 - \sqrt{37}}{3}\right) = \left(\frac{5 - \sqrt{37}}{3}\right)^3 - 5\left(\frac{5 - \sqrt{37}}{3}\right)^2 - 2\left(\frac{5 - \sqrt{37}}{3}\right) + 1 $$

- Phương trình tiếp tuyến tại hai điểm này có dạng:
$$ y - y_1 = 2(x - x_1) $$
$$ y - y_2 = 2(x - x_2) $$

Kết luận:
a) Phương trình tiếp tuyến tại điểm $ M(0;1) $ là:
$$ y = -2x + 1 $$

b) Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $ x = 2 $ là:
$$ y = -10x + 5 $$

c) Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hệ số góc $ k = 2 $ là:
$$ y - y\left(\frac{5 + \sqrt{37}}{3}\right) = 2\left(x - \frac{5 + \sqrt{37}}{3}\right) $$
$$ y - y\left(\frac{5 - \sqrt{37}}{3}\right) = 2\left(x - \frac{5 - \sqrt{37}}{3}\right) $$

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=x mũ3 - 5x mũ2 -2x+1 a,tại điểm M(0;1) b, tại điểm có hoành độ x=2 c, tại điểm có hệ số góc k=2