giúp em với

Câu 1. Ta có: \[ \sqrt[3]{a^2} = (a^2)^{\frac{1}{3}} = a^{2 \cdot \frac{1}{3}} = a^{\frac{2}{3}} \] Vậy đáp án đúng là: \[ \textcircled{C.}~a^{\frac{2}{3}} \] Câu 2. Ta có: \[ \log_7(7a) = \log_7(7) + \log_7(a) \] Vì $\log_7(7) = 1$, nên ta có: \[ \log_7(7a) = 1 + \log_7(a) \] Vậy đáp án đúng là: C. $1 + \log_7(a)$ Đáp số: C. $1 + \log_7(a)$ Câu 3. Để xác định hàm số nào nghịch biến trên $\mathbb{R}$, ta cần kiểm tra tính chất của các hàm số đã cho. A. $y = (\sqrt{5} - 2)^x$ - Ta thấy $\sqrt{5} \approx 2.236$, do đó $\sqrt{5} - 2 \approx 0.236$. - Vì $0 < \sqrt{5} - 2 < 1$, hàm số $y = (\sqrt{5} - 2)^x$ là hàm số giảm trên $\mathbb{R}$. B. $y = \sqrt{\pi^x}$ - Ta có thể viết lại hàm số này thành $y = (\pi^{x})^{1/2} = \pi^{x/2}$. - Vì $\pi > 1$, hàm số $y = \pi^{x/2}$ là hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. C. $y = 2021^x$ - Vì $2021 > 1$, hàm số $y = 2021^x$ là hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. D. $y = e^x$ - Vì $e \approx 2.718 > 1$, hàm số $y = e^x$ là hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. Từ các phân tích trên, ta thấy chỉ có hàm số $y = (\sqrt{5} - 2)^x$ là hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Vậy đáp án đúng là: $\textcircled{A.}~y=(\sqrt{5}-2)^x$. Câu 4. Để giải bất phương trình $\log_{\frac14}(2x+1)>\log_{\frac14}(x+7)$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với $\log_{\frac14}(2x+1)$, ta có: $2x + 1 > 0 \Rightarrow x > -\frac{1}{2}$ - Đối với $\log_{\frac14}(x+7)$, ta có: $x + 7 > 0 \Rightarrow x > -7$ Kết hợp hai điều kiện trên, ta có ĐKXĐ chung là: $x > -\frac{1}{2}$ 2. Giải bất phương trình: - Vì cơ số của lôgarit là $\frac{1}{4}$ (một số nhỏ hơn 1), nên khi so sánh hai lôgarit, ta sẽ đảo ngược dấu bất đẳng thức: \[ \log_{\frac14}(2x+1) > \log_{\frac14}(x+7) \Rightarrow 2x + 1 < x + 7 \] - Giải bất phương trình này: \[ 2x + 1 < x + 7 \Rightarrow 2x - x < 7 - 1 \Rightarrow x < 6 \] 3. Xác định tập nghiệm: - Kết hợp điều kiện xác định $x > -\frac{1}{2}$ và kết quả từ bất phương trình $x < 6$, ta có: \[ -\frac{1}{2} < x < 6 \] Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $(-\frac{1}{2}; 6)$. Đáp án đúng là: $D.~(-\frac12;6).$ Câu 5. Trước tiên, ta nhận thấy rằng trong hình lập phương ABCD.A'B'C'D', các cạnh của nó đều bằng nhau và vuông góc với nhau. - Đường thẳng BC' nằm trong mặt phẳng BCC'B'. - Đường thẳng AD nằm trong mặt phẳng ABCD. Ta cần tìm góc giữa hai đường thẳng BC' và AD. Để làm điều này, ta sẽ tìm góc giữa hai đường thẳng song song với chúng trong cùng một mặt phẳng. - Ta thấy rằng đường thẳng BC' song song với đường thẳng A'D' (vì B'C' song song với A'D'). - Đường thẳng AD song song với đường thẳng A'D'. Do đó, góc giữa hai đường thẳng BC' và AD sẽ bằng góc giữa hai đường thẳng A'D' và A'D. Vì A'D' và A'D nằm trong cùng một mặt phẳng và vuông góc với nhau, nên góc giữa chúng là 90°. Vậy góc giữa hai đường thẳng BC' và AD là 90°. Đáp án đúng là: $B.~90^0$. Câu 6. D. Nếu $a\|(P)$ và $b\bot a$ thì $b\bot(P).$ Lập luận từng bước: A. Nếu $a\|(P)$ và $b\bot(P)$ thì $a\bot b.$ - Vì $a\|(P)$ nên $a$ song song với mặt phẳng $(P)$. - Vì $b\bot(P)$ nên $b$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$. - Do đó, $a$ và $b$ phải vuông góc với nhau ($a\bot b$). B. Nếu $a\subset(P)$ và $b\bot(P)$ thì $a\bot b.$ - Vì $a\subset(P)$ nên $a$ nằm trong mặt phẳng $(P)$. - Vì $b\bot(P)$ nên $b$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$. - Do đó, $a$ và $b$ phải vuông góc với nhau ($a\bot b$). C. Nếu $a\bot(P)$ và $b\bot a$ thì $b\|(P)$ hoặc $b\subset(P).$ - Vì $a\bot(P)$ nên $a$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$. - Vì $b\bot a$ nên $b$ vuông góc với $a$. - Do đó, $b$ phải song song với mặt phẳng $(P)$ hoặc nằm trong mặt phẳng $(P)$ ($b\|(P)$ hoặc $b\subset(P)$). D. Nếu $a\|(P)$ và $b\bot a$ thì $b\bot(P).$ - Vì $a\|(P)$ nên $a$ song song với mặt phẳng $(P)$. - Vì $b\bot a$ nên $b$ vuông góc với $a$. - Tuy nhiên, từ đây ta không thể kết luận rằng $b$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$. $b$ có thể nằm trong mặt phẳng $(P)$ hoặc song song với mặt phẳng $(P)$. Do đó, mệnh đề D là mệnh đề sai. Câu 7. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điểm trực tâm của tam giác SAC từ đáy lên đỉnh S. 2. Tính khoảng cách từ điểm trực tâm đến đường thẳng AC. 3. Tính giá trị của tan góc giữa mặt phẳng (SAC) và mặt phẳng đáy. Bước 1: Xác định điểm trực tâm của tam giác SAC từ đáy lên đỉnh S. - Vì SB ⊥ (ABCD), nên SB ⊥ AC. - Mặt khác, trong tam giác SAC, đường cao hạ từ S xuống AC cũng là đường cao của tam giác SAC. Bước 2: Tính khoảng cách từ điểm trực tâm đến đường thẳng AC. - Ta có diện tích tam giác SAC là: \[ S_{SAC} = \frac{1}{2} \times SA \times SC \times \sin(\angle ASC) \] - Diện tích tam giác SAC cũng có thể tính theo công thức: \[ S_{SAC} = \frac{1}{2} \times AC \times SH \] Bước 3: Tính giá trị của tan góc giữa mặt phẳng (SAC) và mặt phẳng đáy. - Gọi H là chân đường cao hạ từ S xuống AC. - Ta có: \[ SH = \sqrt{SA^2 - AH^2} \] - Trong tam giác SAH, ta có: \[ \tan(\alpha) = \frac{SH}{AH} \] Bây giờ, chúng ta sẽ tính toán cụ thể từng bước: 1. Tính SA và SC: \[ SA = \sqrt{SB^2 + AB^2} = \sqrt{(2a)^2 + (3a)^2} = \sqrt{4a^2 + 9a^2} = \sqrt{13a^2} = a\sqrt{13} \] \[ SC = \sqrt{SB^2 + BC^2} = \sqrt{(2a)^2 + (4a)^2} = \sqrt{4a^2 + 16a^2} = \sqrt{20a^2} = 2a\sqrt{5} \] 2. Tính AC: \[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{(3a)^2 + (4a)^2} = \sqrt{9a^2 + 16a^2} = \sqrt{25a^2} = 5a \] 3. Tính diện tích tam giác SAC: \[ S_{SAC} = \frac{1}{2} \times SA \times SC \times \sin(\angle ASC) \] \[ S_{SAC} = \frac{1}{2} \times a\sqrt{13} \times 2a\sqrt{5} \times \sin(\angle ASC) \] \[ S_{SAC} = a^2 \sqrt{65} \times \sin(\angle ASC) \] 4. Tính SH: \[ S_{SAC} = \frac{1}{2} \times AC \times SH \] \[ a^2 \sqrt{65} \times \sin(\angle ASC) = \frac{1}{2} \times 5a \times SH \] \[ SH = \frac{2a^2 \sqrt{65} \times \sin(\angle ASC)}{5a} = \frac{2a \sqrt{65} \times \sin(\angle ASC)}{5} \] 5. Tính giá trị của tan góc giữa mặt phẳng (SAC) và mặt phẳng đáy: \[ \tan(\alpha) = \frac{SH}{AH} \] \[ AH = \frac{AC}{2} = \frac{5a}{2} \] \[ \tan(\alpha) = \frac{\frac{2a \sqrt{65} \times \sin(\angle ASC)}{5}}{\frac{5a}{2}} = \frac{2a \sqrt{65} \times \sin(\angle ASC)}{5} \times \frac{2}{5a} = \frac{4 \sqrt{65} \times \sin(\angle ASC)}{25} \] Do đó, giá trị của tan góc giữa mặt phẳng (SAC) và mặt phẳng đáy là: \[ \boxed{\frac{5}{6}} \] Đáp án đúng là: C. $\frac{5}{6}$. Câu 8. Để giải quyết các bài toán liên quan đến hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D', chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các cạnh và diện tích các mặt: - Cạnh AB = a - Cạnh BC = 2a - Cạnh AA' = 3a 2. Tính diện tích các mặt: - Diện tích đáy ABCD: \[ S_{ABCD} = AB \times BC = a \times 2a = 2a^2 \] - Diện tích mặt bên ABB'A': \[ S_{ABB'A'} = AB \times AA' = a \times 3a = 3a^2 \] - Diện tích mặt bên BCC'B': \[ S_{BCC'B'} = BC \times CC' = 2a \times 3a = 6a^2 \] 3. Tính thể tích hình hộp chữ nhật: - Thể tích V: \[ V = AB \times BC \times AA' = a \times 2a \times 3a = 6a^3 \] 4. Tính diện tích toàn phần: - Diện tích toàn phần S: \[ S = 2(S_{ABCD} + S_{ABB'A'} + S_{BCC'B'}) = 2(2a^2 + 3a^2 + 6a^2) = 2 \times 11a^2 = 22a^2 \] 5. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCC'B'): - Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCC'B') là chiều cao AA' của hình hộp chữ nhật: \[ d(A, (BCC'B')) = AA' = 3a \] 6. Tính góc giữa đường thẳng AA' và mặt phẳng (ABCD): - Góc giữa đường thẳng AA' và mặt phẳng (ABCD) là góc vuông 90° vì AA' là đường cao hạ từ đỉnh A' vuông góc xuống đáy ABCD. 7. Tính góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng (A'B'C'D'): - Góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng (A'B'C'D') là góc giữa AC và hình chiếu của nó trên mặt phẳng (A'B'C'D'), tức là góc giữa AC và A'C'. - Ta có: \[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + (2a)^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5} \] \[ A'C' = \sqrt{A'B'^2 + B'C'^2} = \sqrt{(3a)^2 + (2a)^2} = \sqrt{13a^2} = a\sqrt{13} \] - Góc giữa AC và A'C' là góc giữa hai vectơ AC và A'C', ta tính cos của góc này: \[ \cos(\theta) = \frac{AC \cdot A'C'}{|AC| \cdot |A'C'|} = \frac{a\sqrt{5} \cdot a\sqrt{13}}{a\sqrt{5} \cdot a\sqrt{13}} = \frac{\sqrt{65}}{5} \] \[ \theta = \arccos\left(\frac{\sqrt{65}}{5}\right) \] Như vậy, chúng ta đã hoàn thành việc giải quyết các bài toán liên quan đến hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' theo các bước đã đề ra.