Giúppo tớ với

Câu 1: Để tìm độ dài cung tròn \( I \), ta sử dụng công thức tính độ dài cung tròn: \[ I = r \cdot \theta \] trong đó \( r \) là bán kính của đường tròn và \( \theta \) là số đo của cung tròn tính bằng radian. Trước tiên, ta cần chuyển đổi số đo của cung từ độ sang radian. Ta biết rằng: \[ 180^\circ = \pi \text{ radian} \] Do đó, số đo \( 54^\circ \) sẽ được chuyển đổi sang radian như sau: \[ \theta = 54^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{54\pi}{180} = \frac{3\pi}{10} \text{ radian} \] Bán kính của đường tròn là \( r = 7 \) cm. Thay các giá trị vào công thức tính độ dài cung tròn: \[ I = 7 \cdot \frac{3\pi}{10} = \frac{21\pi}{10} \text{ cm} \] Vậy độ dài của cung tròn là \( \frac{21}{10}\pi \) cm. Do đó, đáp án đúng là: \(\textcircled{A.} \frac{21}{10}\pi \text{ cm}\) Câu 2: Để tính độ dài cung tròn khi biết số đo cung bằng radian, ta sử dụng công thức: \[ l = r \cdot \theta \] trong đó: - \( l \) là độ dài cung tròn, - \( r \) là bán kính của đường tròn, - \( \theta \) là số đo của cung tròn tính bằng radian. Bài toán cho biết đường kính của đường tròn là 8 cm, do đó bán kính \( r \) sẽ là: \[ r = \frac{8}{2} = 4 \, \text{cm} \] Số đo của cung tròn là \( \theta = 1,5 \, \text{rad} \). Áp dụng công thức tính độ dài cung tròn: \[ l = 4 \cdot 1,5 = 6 \, \text{cm} \] Vậy độ dài cung tròn là 6 cm. Đáp án đúng là C. 6cm. Câu 3: Để tìm độ dài cung tròn, ta sử dụng công thức tính độ dài cung tròn: \[ l = R \cdot \theta \] trong đó \( l \) là độ dài cung tròn, \( R \) là bán kính của đường tròn, và \( \theta \) là góc ở tâm (tính bằng radian) mà cung tròn chắn. Theo đề bài, bán kính \( R = \frac{10}{\pi} \) và góc ở tâm \( \theta = \frac{\pi}{2} \). Áp dụng công thức, ta có: \[ l = \frac{10}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} \] Rút gọn biểu thức trên: \[ l = \frac{10 \cdot \pi}{\pi \cdot 2} = \frac{10}{2} = 5 \] Vậy độ dài cung tròn là 5. Do đó, đáp án đúng là A. 5. Câu 4: Để xác định khẳng định sai, chúng ta cần xem xét từng khẳng định một cách chi tiết: Khẳng định A: Cung tròn có bán kính \( R = 5 \, \text{cm} \) và có số đo \( 1,5 \, \text{rad} \) thì có độ dài là \( 7,5 \, \text{cm} \). - Công thức tính độ dài cung tròn là \( l = R \cdot \theta \), trong đó \( l \) là độ dài cung, \( R \) là bán kính và \( \theta \) là số đo cung theo radian. - Thay vào công thức: \( l = 5 \cdot 1,5 = 7,5 \, \text{cm} \). - Khẳng định A là đúng. Khẳng định B: Cung tròn có bán kính \( R = 8 \, \text{cm} \) và có độ dài \( 8 \, \text{cm} \) thì có số đo độ là \( \frac{180}{\pi} \). - Sử dụng công thức \( l = R \cdot \theta \), ta có \( 8 = 8 \cdot \theta \) nên \( \theta = 1 \, \text{rad} \). - Đổi từ radian sang độ: \( 1 \, \text{rad} = \frac{180}{\pi} \, \text{độ} \). - Khẳng định B là đúng. Khẳng định C: Độ dài cung tròn phụ thuộc vào bán kính của nó. - Độ dài cung tròn được tính bằng công thức \( l = R \cdot \theta \), rõ ràng phụ thuộc vào bán kính \( R \). - Khẳng định C là đúng. Khẳng định D: Góc lượng giác \( (Ou, Ov) \) có số đo dương thì mọi góc lượng giác \( (Ou, Ov) \) có số đo âm. - Khẳng định này không hợp lý vì nếu một góc lượng giác có số đo dương, điều đó không có nghĩa là mọi góc lượng giác tương ứng đều có số đo âm. Thực tế, một góc lượng giác có thể có số đo dương hoặc âm tùy thuộc vào cách quay (ngược chiều kim đồng hồ là dương, cùng chiều kim đồng hồ là âm). - Khẳng định D là sai. Vậy, khẳng định sai là khẳng định D. Câu 5: Để giải quyết các bài toán này, chúng ta sẽ đi từng bước một. Bài toán 1: Độ dài cung tròn mà kim giờ vạch lên trong 30 phút Kim giờ của đồng hồ quay một vòng 360 độ trong 12 giờ. Do đó, trong 1 giờ, kim giờ quay được: \[ \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ \] Trong 30 phút, kim giờ sẽ quay được: \[ \frac{30^\circ}{2} = 15^\circ \] Độ dài cung tròn mà kim giờ vạch lên có thể tính bằng công thức: \[ L = r \cdot \theta \] trong đó \( r = 10,57 \) cm là bán kính (độ dài kim giờ) và \( \theta \) là góc tính bằng radian. Chúng ta cần đổi 15 độ sang radian: \[ \theta = 15^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{12} \text{ radian} \] Do đó, độ dài cung tròn là: \[ L = 10,57 \times \frac{\pi}{12} \approx 2,76 \text{ cm} \] Vậy đáp án đúng là \( C.~2,76~cm. \) Bài toán 2: Xác định hệ thức đúng Chúng ta sẽ kiểm tra từng hệ thức: - \( A.~\sin x^2 + \cos x^2 = 1 \) Đây là hệ thức đúng, nhưng cần viết đúng dạng là \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \). - \( B.~\sin x + \cos x = 1 \) Hệ thức này không đúng với mọi giá trị của \( x \). - \( C.~\sin 2x + \cos 2x = 1 \) Hệ thức này cũng không đúng với mọi giá trị của \( x \). - \( D.~\sin^2 x + \cos x^2 = 1 \) Đây là một cách viết sai của hệ thức \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \). Vậy hệ thức đúng là \( A.~\sin^2 x + \cos^2 x = 1 \). Câu 6: Để tìm khẳng định sai trong các hệ thức lượng giác đã cho, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một. A. $\tan(\pi + \alpha) = \tan \alpha$ Ta biết rằng: \[ \tan(\pi + \alpha) = \frac{\sin(\pi + \alpha)}{\cos(\pi + \alpha)} \] Theo công thức cộng góc, ta có: \[ \sin(\pi + \alpha) = -\sin \alpha \quad \text{và} \quad \cos(\pi + \alpha) = -\cos \alpha \] Do đó: \[ \tan(\pi + \alpha) = \frac{-\sin \alpha}{-\cos \alpha} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \tan \alpha \] Khẳng định A đúng. B. $\cot(-\alpha) = -\cot \alpha$ Ta biết rằng: \[ \cot(-\alpha) = \frac{\cos(-\alpha)}{\sin(-\alpha)} \] Theo tính chất của hàm cosin và sin, ta có: \[ \cos(-\alpha) = \cos \alpha \quad \text{và} \quad \sin(-\alpha) = -\sin \alpha \] Do đó: \[ \cot(-\alpha) = \frac{\cos \alpha}{-\sin \alpha} = -\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = -\cot \alpha \] Khẳng định B đúng. C. $\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha$ Ta biết rằng: \[ \sin(\pi - \alpha) = \sin \pi \cos \alpha - \cos \pi \sin \alpha \] Theo giá trị của sin và cos tại góc $\pi$, ta có: \[ \sin \pi = 0 \quad \text{và} \quad \cos \pi = -1 \] Do đó: \[ \sin(\pi - \alpha) = 0 \cdot \cos \alpha - (-1) \cdot \sin \alpha = \sin \alpha \] Khẳng định C đúng. D. $\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha$ Như đã chứng minh ở trên, khẳng định này đúng. Vậy, tất cả các khẳng định đều đúng. Do đó, không có khẳng định nào sai trong các khẳng định đã cho. Đáp án: Không có khẳng định sai. Câu 7: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xác định dấu của các hàm lượng giác trong khoảng \(2\pi < \alpha < \frac{5\pi}{2}\). 1. Xác định khoảng của \(\alpha\): - Khoảng \(2\pi < \alpha < \frac{5\pi}{2}\) tương đương với \(0 < \alpha - 2\pi < \frac{\pi}{2}\). - Điều này có nghĩa là \(\alpha\) nằm trong khoảng từ \(0\) đến \(\frac{\pi}{2}\) sau khi trừ đi \(2\pi\). 2. Xác định dấu của các hàm lượng giác trong khoảng \(0 < \theta < \frac{\pi}{2}\): - Trong khoảng \(0 < \theta < \frac{\pi}{2}\): - \(\sin \theta > 0\) - \(\cos \theta > 0\) - \(\tan \theta > 0\) - \(\cot \theta > 0\) 3. Áp dụng vào bài toán: - Vì \(\alpha\) nằm trong khoảng \(2\pi < \alpha < \frac{5\pi}{2}\), tương đương với \(0 < \alpha - 2\pi < \frac{\pi}{2}\), nên: - \(\sin \alpha > 0\) - \(\cos \alpha > 0\) - \(\tan \alpha > 0\) - \(\cot \alpha > 0\) 4. Kiểm tra các khẳng định: - A. \(\tan \alpha < 0\): Sai vì \(\tan \alpha > 0\). - B. \(\cot \alpha > 0\): Đúng. - C. \(\sin \alpha > 0\): Đúng. - D. \(\cos \alpha > 0\): Đúng. Kết luận: Khẳng định sai là A. \(\tan \alpha < 0\). Câu 8: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần sử dụng các công thức lượng giác cơ bản và tính chất của các hàm số lượng giác. 1. Xét khẳng định A: \(\cot(\alpha + \frac{\pi}{2}) > 0\). Sử dụng công thức: \[ \cot(\alpha + \frac{\pi}{2}) = -\tan(\alpha) \] Vì \(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\), nên \(\tan(\alpha) > 0\). Do đó, \(-\tan(\alpha) < 0\). Vậy \(\cot(\alpha + \frac{\pi}{2}) < 0\), khẳng định A sai. 2. Xét khẳng định B: \(\cot(\alpha + \frac{\pi}{2}) \geq 0\). Từ kết quả trên, ta có \(\cot(\alpha + \frac{\pi}{2}) < 0\), nên khẳng định B cũng sai. 3. Xét khẳng định C: \(\tan(\alpha + \pi) < 0\). Sử dụng công thức: \[ \tan(\alpha + \pi) = \tan(\alpha) \] Vì \(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\), nên \(\tan(\alpha) > 0\). Vậy \(\tan(\alpha + \pi) = \tan(\alpha) > 0\), khẳng định C sai. 4. Xét khẳng định D: \(\tan(\alpha + \pi) > 0\). Từ kết quả trên, ta có \(\tan(\alpha + \pi) = \tan(\alpha) > 0\). Vậy khẳng định D đúng. Kết luận: Khẳng định đúng là D. \(\tan(\alpha + \pi) > 0\). Câu 9: Để xác định mệnh đề nào sai, ta cần phân tích từng mệnh đề dựa trên các công thức lượng giác cơ bản và tính chất của các góc. 1. Mệnh đề A: \(\sin(\alpha + \pi) < 0\) Sử dụng công thức: \(\sin(\alpha + \pi) = -\sin(\alpha)\). Vì \(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\), nên \(\sin(\alpha) > 0\). Do đó, \(-\sin(\alpha) < 0\). Vậy mệnh đề A đúng. 2. Mệnh đề B: \(\cos(\alpha + \pi) > 0\) Sử dụng công thức: \(\cos(\alpha + \pi) = -\cos(\alpha)\). Vì \(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\), nên \(\cos(\alpha) > 0\). Do đó, \(-\cos(\alpha) < 0\). Vậy mệnh đề B sai. 3. Mệnh đề C: \(\tan(\pi - \alpha) > 0\) Sử dụng công thức: \(\tan(\pi - \alpha) = -\tan(\alpha)\). Vì \(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\), nên \(\tan(\alpha) > 0\). Do đó, \(-\tan(\alpha) < 0\). Vậy mệnh đề C sai. 4. Mệnh đề D: \(\cot(\pi - \alpha) < 0\) Sử dụng công thức: \(\cot(\pi - \alpha) = -\cot(\alpha)\). Vì \(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\), nên \(\cot(\alpha) > 0\). Do đó, \(-\cot(\alpha) < 0\). Vậy mệnh đề D đúng. Kết luận: Mệnh đề sai là mệnh đề B. Câu10: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xác định dấu của các hàm lượng giác trong khoảng \(\frac{7\pi}{4} < \alpha < 2\pi\). 1. Xác định vị trí của góc \(\alpha\) trên đường tròn đơn vị: - Góc \(\alpha\) nằm trong khoảng \(\frac{7\pi}{4} < \alpha < 2\pi\), tức là góc \(\alpha\) nằm ở phần cuối của vòng tròn đơn vị, gần \(2\pi\). Điều này tương đương với góc \(\alpha\) nằm ở góc phần tư thứ IV. 2. Xác định dấu của các hàm lượng giác trong góc phần tư thứ IV: - Trong góc phần tư thứ IV: - Hàm cosin (\(\cos\alpha\)) dương vì nó đo lường tọa độ x của điểm trên đường tròn đơn vị, và trong góc phần tư thứ IV, tọa độ x là dương. - Hàm sin (\(\sin\alpha\)) âm vì nó đo lường tọa độ y của điểm trên đường tròn đơn vị, và trong góc phần tư thứ IV, tọa độ y là âm. - Hàm tang (\(\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)) âm vì \(\sin\alpha\) âm và \(\cos\alpha\) dương. - Hàm côtang (\(\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\)) âm vì \(\cos\alpha\) dương và \(\sin\alpha\) âm. 3. Kiểm tra các đáp án: - A. \(\cos\alpha > 0\): Đúng vì trong góc phần tư thứ IV, \(\cos\alpha\) dương. - B. \(\sin\alpha > 0\): Sai vì trong góc phần tư thứ IV, \(\sin\alpha\) âm. - C. \(\tan\alpha > 0\): Sai vì trong góc phần tư thứ IV, \(\tan\alpha\) âm. - D. \(\cot\alpha > 0\): Sai vì trong góc phần tư thứ IV, \(\cot\alpha\) âm. Kết luận: Đáp án đúng là \(A. \cos\alpha > 0\). Câu 11: Ta biết rằng trong khoảng \(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\), cả sin và cos đều dương. Do đó: - \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} > 0\) vì cả tử số và mẫu số đều dương. - \(\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} > 0\) vì cả tử số và mẫu số đều dương. Vậy khẳng định đúng là: \(A.~\tan\alpha>0,\cot\alpha>0.\) Đáp án: \(A.~\tan\alpha>0,\cot\alpha>0.\)