Giải hộ tôi với

Để tính các giá trị lượng giác của góc \(\alpha\) biết rằng \(\cos \alpha = -\frac{2}{3}\) và \(\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định dấu của các giá trị lượng giác trong khoảng \(\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}\): - Góc \(\alpha\) nằm trong khoảng từ \(\pi\) đến \(\frac{3\pi}{2}\), tức là góc \(\alpha\) thuộc góc phần tư thứ III. - Trong góc phần tư thứ III, cả sin và cos đều âm. 2. Tính \(\sin \alpha\): - Ta sử dụng công thức \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\). - Thay giá trị \(\cos \alpha = -\frac{2}{3}\) vào công thức: \[ \sin^2 \alpha + \left(-\frac{2}{3}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2 \alpha + \frac{4}{9} = 1 \] \[ \sin^2 \alpha = 1 - \frac{4}{9} \] \[ \sin^2 \alpha = \frac{9}{9} - \frac{4}{9} \] \[ \sin^2 \alpha = \frac{5}{9} \] - Vì \(\alpha\) nằm trong góc phần tư thứ III, \(\sin \alpha\) sẽ âm: \[ \sin \alpha = -\sqrt{\frac{5}{9}} = -\frac{\sqrt{5}}{3} \] 3. Tính \(\tan \alpha\): - Ta sử dụng công thức \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\): \[ \tan \alpha = \frac{-\frac{\sqrt{5}}{3}}{-\frac{2}{3}} \] \[ \tan \alpha = \frac{\sqrt{5}}{2} \] 4. Tính \(\cot \alpha\): - Ta sử dụng công thức \(\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}\): \[ \cot \alpha = \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \] Vậy các giá trị lượng giác của góc \(\alpha\) là: - \(\sin \alpha = -\frac{\sqrt{5}}{3}\) - \(\cos \alpha = -\frac{2}{3}\) - \(\tan \alpha = \frac{\sqrt{5}}{2}\) - \(\cot \alpha = \frac{2\sqrt{5}}{5}\) Đáp số: - \(\sin \alpha = -\frac{\sqrt{5}}{3}\) - \(\cos \alpha = -\frac{2}{3}\) - \(\tan \alpha = \frac{\sqrt{5}}{2}\) - \(\cot \alpha = \frac{2\sqrt{5}}{5}\)