Giúp mình với

Để tìm giá trị của \(\cos\alpha\) khi biết \(\sin\alpha = \frac{3}{5}\) và \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện của góc \(\alpha\): - Góc \(\alpha\) nằm trong khoảng \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\), tức là góc \(\alpha\) thuộc góc phần tư thứ hai của đường tròn lượng giác. 2. Sử dụng hệ thức lượng giác cơ bản: - Ta có hệ thức lượng giác cơ bản: \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\). 3. Thay giá trị của \(\sin\alpha\) vào hệ thức: \[ \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2\alpha = 1 \] \[ \frac{9}{25} + \cos^2\alpha = 1 \] 4. Giải phương trình để tìm \(\cos^2\alpha\): \[ \cos^2\alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25}{25} - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \] 5. Tìm \(\cos\alpha\): - Do \(\alpha\) thuộc góc phần tư thứ hai, nên \(\cos\alpha\) phải âm. - Vậy \(\cos\alpha = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}\). Kết luận: Giá trị của \(\cos\alpha\) là \(-\frac{4}{5}\). Do đó, đáp án đúng là \(A.~\cos\alpha = -\frac{4}{5}\). Câu 44: Để đơn giản biểu thức \( A = \cos\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right) \), ta sử dụng công thức lượng giác cho cosin của hiệu hai góc: \[ \cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b \] Áp dụng công thức này cho \( a = \alpha \) và \( b = \frac{\pi}{2} \), ta có: \[ \cos\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right) = \cos \alpha \cos \frac{\pi}{2} + \sin \alpha \sin \frac{\pi}{2} \] Biết rằng: - \(\cos \frac{\pi}{2} = 0\) - \(\sin \frac{\pi}{2} = 1\) Thay các giá trị này vào biểu thức, ta được: \[ \cos\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right) = \cos \alpha \cdot 0 + \sin \alpha \cdot 1 = \sin \alpha \] Vậy, biểu thức đơn giản của \( A \) là \(\sin \alpha\). Do đó, đáp án đúng là \( B. \sin \alpha \). Câu 15: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần kiểm tra từng khẳng định để xem khẳng định nào đúng. Khẳng định A: $\sin a + \cos a = 1$ - Ta biết rằng $\sin a$ và $\cos a$ đều nằm trong khoảng từ -1 đến 1. Tuy nhiên, tổng của chúng không phải lúc nào cũng bằng 1. Ví dụ, nếu $a = 0$, thì $\sin 0 = 0$ và $\cos 0 = 1$, nên $\sin 0 + \cos 0 = 1$. Nhưng nếu $a = \frac{\pi}{4}$, thì $\sin \frac{\pi}{4} = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, nên $\sin \frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} \neq 1$. Do đó, khẳng định A không đúng. Khẳng định B: $\sin^3 a + \cos^3 a = 1$ - Ta biết rằng $\sin^3 a$ và $\cos^3 a$ cũng nằm trong khoảng từ -1 đến 1. Tuy nhiên, tổng của chúng không phải lúc nào cũng bằng 1. Ví dụ, nếu $a = 0$, thì $\sin^3 0 = 0$ và $\cos^3 0 = 1$, nên $\sin^3 0 + \cos^3 0 = 1$. Nhưng nếu $a = \frac{\pi}{4}$, thì $\sin^3 \frac{\pi}{4} = \cos^3 \frac{\pi}{4} = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^3 = \frac{\sqrt{2}}{4}$, nên $\sin^3 \frac{\pi}{4} + \cos^3 \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \neq 1$. Do đó, khẳng định B không đúng. Khẳng định C: $\sin^4 a + \cos^4 a = 1$ - Ta biết rằng $\sin^4 a$ và $\cos^4 a$ cũng nằm trong khoảng từ 0 đến 1. Tuy nhiên, tổng của chúng không phải lúc nào cũng bằng 1. Ví dụ, nếu $a = 0$, thì $\sin^4 0 = 0$ và $\cos^4 0 = 1$, nên $\sin^4 0 + \cos^4 0 = 1$. Nhưng nếu $a = \frac{\pi}{4}$, thì $\sin^4 \frac{\pi}{4} = \cos^4 \frac{\pi}{4} = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^4 = \frac{1}{4}$, nên $\sin^4 \frac{\pi}{4} + \cos^4 \frac{\pi}{4} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \neq 1$. Do đó, khẳng định C không đúng. Khẳng định D: $\sin^2 a + \cos^2 a = 1$ - Đây là một công thức lượng giác cơ bản và luôn đúng cho mọi giá trị của $a$. Công thức này phát biểu rằng bình phương của sin và cos của cùng một góc luôn bằng 1. Do đó, khẳng định D đúng. Vậy khẳng định đúng là: \[D. \sin^2 a + \cos^2 a = 1.\] Câu 16: Để kiểm tra các đẳng thức nào sau đây đồng thời xảy ra, chúng ta cần kiểm tra xem tổng bình phương của sin và cos của mỗi trường hợp có bằng 1 hay không, vì theo công thức lượng giác cơ bản, ta có: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] Kiểm tra từng đáp án: A. \[ \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{3}; \cos \alpha = \frac{\sqrt{5}}{3} \] \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = \left( \frac{\sqrt{2}}{3} \right)^2 + \left( \frac{\sqrt{5}}{3} \right)^2 = \frac{2}{9} + \frac{5}{9} = \frac{7}{9} \neq 1 \] Vậy A không đúng. B. \[ \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{5}; \cos \alpha = \frac{\sqrt{5}}{5} \] \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = \left( \frac{\sqrt{2}}{5} \right)^2 + \left( \frac{\sqrt{5}}{5} \right)^2 = \frac{2}{25} + \frac{5}{25} = \frac{7}{25} \neq 1 \] Vậy B không đúng. C. \[ \sin \alpha = \frac{4}{5}; \cos \alpha = \frac{-3}{5} \] \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = \left( \frac{4}{5} \right)^2 + \left( \frac{-3}{5} \right)^2 = \frac{16}{25} + \frac{9}{25} = \frac{25}{25} = 1 \] Vậy C đúng. D. \[ \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{4}; \cos \alpha = \frac{1}{4} \] \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = \left( \frac{\sqrt{3}}{4} \right)^2 + \left( \frac{1}{4} \right)^2 = \frac{3}{16} + \frac{1}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} \neq 1 \] Vậy D không đúng. Kết luận: Đáp án đúng là C. Câu 17: Để giải quyết bài toán này, ta cần sử dụng định nghĩa của hàm số lượng giác và mối quan hệ giữa các hàm số lượng giác. Cho $\cot\alpha = \frac{3}{4}$, điều này có nghĩa là: \[ \cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{3}{4} \] Từ đó, ta có thể suy ra: \[ \cos\alpha = 3k \quad \text{và} \quad \sin\alpha = 4k \] với $k$ là một hằng số dương. Vì $\alpha$ là góc nhọn ($0^0 < \alpha < 90^0$), nên $\sin\alpha > 0$ và $\cos\alpha > 0$. Sử dụng hệ thức lượng giác cơ bản: \[ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \] Thay các giá trị vào, ta có: \[ (4k)^2 + (3k)^2 = 1 \] \[ 16k^2 + 9k^2 = 1 \] \[ 25k^2 = 1 \] \[ k^2 = \frac{1}{25} \] \[ k = \frac{1}{5} \] Từ đó, ta tính được: \[ \sin\alpha = 4k = 4 \times \frac{1}{5} = \frac{4}{5} \] \[ \cos\alpha = 3k = 3 \times \frac{1}{5} = \frac{3}{5} \] Vậy, khẳng định đúng là $B.~\sin\alpha=\frac{4}{5}$. Câu 1: Để tính các giá trị lượng giác của góc \(\alpha = \frac{\pi}{3} + k2\pi\) với \(k \in \mathbb{Z}\), ta cần xác định các giá trị lượng giác của góc \(\frac{\pi}{3}\) trước, vì việc cộng thêm \(k2\pi\) không làm thay đổi giá trị lượng giác của góc. 1. Tính các giá trị lượng giác của \(\frac{\pi}{3}\): - \(\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\) - \(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\) - \(\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}\) - \(\cot\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\) 2. Xét các khẳng định: a) \(\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}\) - Khẳng định này đúng vì \(\sin\left(\frac{\pi}{3} + k2\pi\right) = \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\). b) \(\cos\alpha = -\frac{1}{2}\) - Khẳng định này sai vì \(\cos\left(\frac{\pi}{3} + k2\pi\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\). c) \(\tan\alpha = \sqrt{3}\) - Khẳng định này đúng vì \(\tan\left(\frac{\pi}{3} + k2\pi\right) = \tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}\). d) \(\cot\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{3}\) - Khẳng định này sai vì \(\cot\left(\frac{\pi}{3} + k2\pi\right) = \cot\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3}\). Tóm lại, các khẳng định đúng là a) và c). Câu 2: Đầu tiên, ta cần xác định giá trị của cos x dựa trên thông tin đã cho là sin x = -3/5 và π < x < 3π/2. Do π < x < 3π/2, tức là x nằm trong góc phần tư thứ III, nơi cả sin và cos đều âm. Ta sử dụng công thức Pythagoras: \[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \] Thay giá trị của sin x vào: \[ \left(-\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2 x = 1 \] \[ \frac{9}{25} + \cos^2 x = 1 \] \[ \cos^2 x = 1 - \frac{9}{25} \] \[ \cos^2 x = \frac{25}{25} - \frac{9}{25} \] \[ \cos^2 x = \frac{16}{25} \] \[ \cos x = \pm \frac{4}{5} \] Vì x nằm trong góc phần tư thứ III, nên cos x phải âm: \[ \cos x = -\frac{4}{5} \] Bây giờ, ta sẽ kiểm tra các khẳng định: a) cos x > 0 - Sai, vì cos x = -4/5 và âm. b) cos x = -4/5 - Đúng, vì chúng ta đã tính toán và xác định rằng cos x = -4/5. c) tan x = 3/4 - Sai, vì tan x = sin x / cos x = (-3/5) / (-4/5) = 3/4, nhưng dấu của tan x trong góc phần tư thứ III là dương, do đó tan x = 3/4 là đúng, nhưng câu hỏi yêu cầu xét tính đúng sai của khẳng định này, và khẳng định này là sai vì nó thiếu dấu dương. d) cot x = 4/3 - Sai, vì cot x = cos x / sin x = (-4/5) / (-3/5) = 4/3, nhưng dấu của cot x trong góc phần tư thứ III là dương, do đó cot x = 4/3 là đúng, nhưng câu hỏi yêu cầu xét tính đúng sai của khẳng định này, và khẳng định này là sai vì nó thiếu dấu dương. Tóm lại: a) Sai b) Đúng c) Sai d) Sai Câu 1: Để giải bài toán này, chúng ta cần tính góc (theo độ rađian) mà bánh xe quay được trong 1 giây. Dưới đây là các bước lập luận chi tiết: 1. Tính chu vi của bánh xe đạp: Đường kính của bánh xe là 680 mm, do đó bán kính \( r \) của bánh xe là: \[ r = \frac{680}{2} = 340 \text{ mm} \] Chu vi \( C \) của bánh xe được tính bằng công thức: \[ C = 2\pi r = 2\pi \times 340 = 680\pi \text{ mm} \] 2. Tính quãng đường bánh xe đi được trong 5 giây: Bánh xe quay được 11 vòng trong 5 giây, do đó quãng đường \( S \) mà bánh xe đi được trong 5 giây là: \[ S = 11 \times 680\pi \text{ mm} \] 3. Tính quãng đường bánh xe đi được trong 1 giây: Quãng đường bánh xe đi được trong 1 giây là: \[ \frac{S}{5} = \frac{11 \times 680\pi}{5} \text{ mm} \] 4. Tính số vòng quay của bánh xe trong 1 giây: Số vòng quay của bánh xe trong 1 giây là: \[ \frac{S}{5C} = \frac{\frac{11 \times 680\pi}{5}}{680\pi} = \frac{11}{5} \] 5. Tính góc quay của bánh xe trong 1 giây: Một vòng quay tương ứng với góc \( 2\pi \) rađian. Do đó, góc quay của bánh xe trong 1 giây là: \[ \frac{11}{5} \times 2\pi = \frac{22\pi}{5} \text{ rađian} \] Tuy nhiên, đề bài cho rằng góc quay trong 1 giây là 7920 rađian, điều này có thể là một sai sót trong đề bài hoặc cần kiểm tra lại thông tin. Theo các bước tính toán trên, góc quay trong 1 giây là \( \frac{22\pi}{5} \) rađian.