Giúp mình với! Kiểm tra lấy điểm TX,Câu 1 Khai hiển nhị thức sau $(2x+1)^4$,Câu 2 Tố 1 có 10h/s nữ và 5 h/s nam. Chọn 3 học sinh để,3 viêc,đi trực nhật làm của tổ 1,a, Số cách chọn 3h/đế làm 3 việc ( múc nước ; lau bảng,,quét nhà,,b, Biến cố A. "Chọn 3 h/s trong đó có 2 h/s nam". để giao,3 việc ở câu a) Tính $P(4)$,c, Biết 3 h/s trong đó có ít nhất 1 học sinh nữ,3 việc 8 câu a) ". Tính $P(B)$

Question

Accepted Answer

Câu 1
Để khai triển nhị thức $(2x + 1)^4$, ta sử dụng công thức nhị thức Newton. Công thức này cho phép ta mở rộng một nhị thức lũy thừa thành tổng các hạng tử.

Công thức nhị thức Newton:
$$
(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k
$$

Trong đó, $\binom{n}{k}$ là hệ số nhị thức, được tính bằng:
$$
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
$$

Áp dụng công thức này cho $(2x + 1)^4$, ta có:
$$
(2x + 1)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} (2x)^{4-k} (1)^k
$$

Bây giờ, ta sẽ tính từng hạng tử trong tổng này:

1. Khi $k = 0$:
$$
\binom{4}{0} (2x)^{4-0} (1)^0 = 1 \cdot (2x)^4 \cdot 1 = 16x^4
$$

2. Khi $k = 1$:
$$
\binom{4}{1} (2x)^{4-1} (1)^1 = 4 \cdot (2x)^3 \cdot 1 = 4 \cdot 8x^3 = 32x^3
$$

3. Khi $k = 2$:
$$
\binom{4}{2} (2x)^{4-2} (1)^2 = 6 \cdot (2x)^2 \cdot 1 = 6 \cdot 4x^2 = 24x^2
$$

4. Khi $k = 3$:
$$
\binom{4}{3} (2x)^{4-3} (1)^3 = 4 \cdot (2x)^1 \cdot 1 = 4 \cdot 2x = 8x
$$

5. Khi $k = 4$:
$$
\binom{4}{4} (2x)^{4-4} (1)^4 = 1 \cdot (2x)^0 \cdot 1 = 1
$$

Gộp tất cả các hạng tử lại, ta có:
$$
(2x + 1)^4 = 16x^4 + 32x^3 + 24x^2 + 8x + 1
$$

Vậy, khai triển của $(2x + 1)^4$ là:
$$
(2x + 1)^4 = 16x^4 + 32x^3 + 24x^2 + 8x + 1
$$

Câu 2
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu của đề bài.

a) Số cách chọn 3 học sinh để giao 3 việc (múc nước, lau bảng, quét nhà)

- Tổng số học sinh trong tổ là 10 học sinh nữ + 5 học sinh nam = 15 học sinh.
- Để chọn 3 học sinh từ 15 học sinh, ta sử dụng công thức tổ hợp:
$$ C_{15}^3 = \frac{15!}{3!(15-3)!} = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 455 $$

- Sau khi chọn 3 học sinh, ta cần phân công 3 việc khác nhau cho 3 học sinh này. Ta sử dụng công thức hoán vị:
$$ P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 $$

- Vậy tổng số cách chọn 3 học sinh và giao 3 việc là:
$$ 455 \times 6 = 2730 $$

b) Biến cố A: "Chọn 3 học sinh trong đó có 2 học sinh nam"

- Để chọn 2 học sinh nam từ 5 học sinh nam, ta sử dụng công thức tổ hợp:
$$ C_{5}^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 $$

- Để chọn 1 học sinh nữ từ 10 học sinh nữ, ta sử dụng công thức tổ hợp:
$$ C_{10}^1 = \frac{10!}{1!(10-1)!} = 10 $$

- Tổng số cách chọn 3 học sinh trong đó có 2 học sinh nam và 1 học sinh nữ là:
$$ 10 \times 10 = 100 $$

- Sau khi chọn 3 học sinh, ta cần phân công 3 việc khác nhau cho 3 học sinh này. Ta sử dụng công thức hoán vị:
$$ P_3 = 3! = 6 $$

- Vậy tổng số cách chọn 3 học sinh trong đó có 2 học sinh nam và giao 3 việc là:
$$ 100 \times 6 = 600 $$

- Xác suất của biến cố A là:
$$ P(A) = \frac{600}{2730} = \frac{20}{91} $$

c) Biến cố B: "Chọn 3 học sinh trong đó có ít nhất 1 học sinh nữ"

- Để tính xác suất của biến cố B, ta tính xác suất của biến cố đối lập của B, tức là chọn 3 học sinh đều là nam.
- Để chọn 3 học sinh nam từ 5 học sinh nam, ta sử dụng công thức tổ hợp:
$$ C_{5}^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10 $$

- Sau khi chọn 3 học sinh nam, ta cần phân công 3 việc khác nhau cho 3 học sinh này. Ta sử dụng công thức hoán vị:
$$ P_3 = 3! = 6 $$

- Vậy tổng số cách chọn 3 học sinh đều là nam và giao 3 việc là:
$$ 10 \times 6 = 60 $$

- Xác suất của biến cố đối lập của B là:
$$ P(\text{đối lập của } B) = \frac{60}{2730} = \frac{2}{91} $$

- Xác suất của biến cố B là:
$$ P(B) = 1 - P(\text{đối lập của } B) = 1 - \frac{2}{91} = \frac{89}{91} $$

Đáp số:
a) Số cách chọn 3 học sinh để giao 3 việc là 2730.
b) Xác suất của biến cố A là $\frac{20}{91}$.
c) Xác suất của biến cố B là $\frac{89}{91}$.