dtixticitxtixtuxtixgicitmvjfxgkxgkcyi Câu 1. Gọi $M(a;b)$ là điểm thuộc đồ thị hàm số $y=\frac{2x+1}{x+2}$ và có,khoảng cách từ M đến đường thẳng d : $y=3x+6$ nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức $T=6a^2+7b^2.$,Câu 2. Một chiếc hộp có 50 viên bi, trong đó có 30 viên bi màu xanh và 20 viên bi màu đỏ, các viên bi có kích,thước và khối lượng giống nhau. Sau khi kiểm tra, người ta thấy có 70% số viên bi màu xanh được đánh số và,60% số viên bi màu đỏ được đánh số, những viên bi còn lại không đánh số. Lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp,đó. Biết rằng, viên bi lấy ra được đánh số, xác suất để viên bi đó có màu xanh bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn,đến hàng phần trăm)?,Câu 3. Nhà máy A chuyên sản xuất một loại sản phẩm cung cấp cho nhà máy B. Hai nhà máy thỏa thuận,rằng, hàng tháng nhà máy A cung cấp cho nhà máy B số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của B (tối đa 100,tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là x tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là,$P(x)=45-0,001x^2$ (triệu đồng). Chi phí để A sản xuất x tấn sản phẩm trong một tháng gồm 100 triệu đồng,chi phí cố định và 30 triệu đồng cho mỗi tấn sản phẩm. Nhà máy A cần bán cho nhà máy B bao nhiêu tấn sản,phẩm mỗi tháng để lợi nhuận thu được lớn nhất? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).,Câu 4. Một vật trang trí có dạng một khối tròn xoay được tạo,thành khi quay miền (R) (phần gạch chéo trong hình vẽ) quanh trục,,MN . Biết rằng ABCD là hình chữ nhật với $AB=6~cm,$,$AD=10~cm.$ Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB,CD . Hai,đường cong là hình elip có hình chữ nhật cơ sở là ABCD và đường,tròn tiếp xúc với hai cạnh AD và BC (tham khảo hình vẽ). Tính thể,tích của vật trang trí đó (kết quả làm tròn đến hàng phần chục theo,$đơn~vị~cm^3).$,Câu 5. Trong một khu du lịch, người ta cho khách trải,nghiệm thiên nhiên bằng cách đu theo đường trượt zipline,,từ vị trí A cao 15m của tháp 1 này sang vị trí B cao 10m,của tháp 2 trong khung cảnh tuyệt đẹp xung quanh. Với hệ,trục tọa độ Oxyz cho trước ( đơn vị: mét), tọa độ của A,B,lần lượt là $A(3;2,5;15)$ và $B(21;27,5;10).$ Khi du khách ở,độ cao 12m thì tọa độ của du khách lúc đó là $M(a;b;c).$,Tính giá trị của biểu thức $T=a+b+c$,Câu 6. Một bể bơi ban đầu có dạng hình hộp chữ nhật,ABCD.A'B'C'D'.Sau đó, người ta làm lại mặt đáy như,hình vẽ. Biết rằng A'B'MN và MNEF là các hình chữ,nhật, (MNEF) I(A'''C'D'), $AB=10~m,~AD=30~m,~AA^\prime=20~m,$,,$MF=DE=17~m.$ Tính tỉ số thể tích của bể sau khi làm lại mặt đáy với,thể tích của bể lúc ban đầu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Question

dtixticitxtixtuxtixgicitmvjfxgkxgkcyi Câu 1. Gọi $M(a;b)$ là điểm thuộc đồ thị hàm số $y=\frac{2x+1}{x+2}$ và có,khoảng cách từ M đến đường thẳng d : $y=3x+6$ nhỏ nhất. Tính giá trị của biểu thức $T=6a^2+7b^2.$,Câu 2. Một chiếc hộp có 50 viên bi, trong đó có 30 viên bi màu xanh và 20 viên bi màu đỏ, các viên bi có kích,thước và khối lượng giống nhau. Sau khi kiểm tra, người ta thấy có 70% số viên bi màu xanh được đánh số và,60% số viên bi màu đỏ được đánh số, những viên bi còn lại không đánh số. Lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp,đó. Biết rằng, viên bi lấy ra được đánh số, xác suất để viên bi đó có màu xanh bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn,đến hàng phần trăm)?,Câu 3. Nhà máy A chuyên sản xuất một loại sản phẩm cung cấp cho nhà máy B. Hai nhà máy thỏa thuận,rằng, hàng tháng nhà máy A cung cấp cho nhà máy B số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của B (tối đa 100,tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là x tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là,$P(x)=45-0,001x^2$ (triệu đồng). Chi phí để A sản xuất x tấn sản phẩm trong một tháng gồm 100 triệu đồng,chi phí cố định và 30 triệu đồng cho mỗi tấn sản phẩm. Nhà máy A cần bán cho nhà máy B bao nhiêu tấn sản,phẩm mỗi tháng để lợi nhuận thu được lớn nhất? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).,Câu 4. Một vật trang trí có dạng một khối tròn xoay được tạo,thành khi quay miền (R) (phần gạch chéo trong hình vẽ) quanh trục,

,MN . Biết rằng ABCD là hình chữ nhật với $AB=6~cm,$,$AD=10~cm.$ Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB,CD . Hai,đường cong là hình elip có hình chữ nhật cơ sở là ABCD và đường,tròn tiếp xúc với hai cạnh AD và BC (tham khảo hình vẽ). Tính thể,tích của vật trang trí đó (kết quả làm tròn đến hàng phần chục theo,$đơn~vị~cm^3).$,Câu 5. Trong một khu du lịch, người ta cho khách trải,nghiệm thiên nhiên bằng cách đu theo đường trượt zipline,

,từ vị trí A cao 15m của tháp 1 này sang vị trí B cao 10m,của tháp 2 trong khung cảnh tuyệt đẹp xung quanh. Với hệ,trục tọa độ Oxyz cho trước ( đơn vị: mét), tọa độ của A,B,lần lượt là $A(3;2,5;15)$ và $B(21;27,5;10).$ Khi du khách ở,độ cao 12m thì tọa độ của du khách lúc đó là $M(a;b;c).$,Tính giá trị của biểu thức $T=a+b+c$,Câu 6. Một bể bơi ban đầu có dạng hình hộp chữ nhật,ABCD.A'B'C'D'.Sau đó, người ta làm lại mặt đáy như,hình vẽ. Biết rằng A'B'MN và MNEF là các hình chữ,nhật, (MNEF) I(A'''C'D'), $AB=10~m,~AD=30~m,~AA^\prime=20~m,$,

,$MF=DE=17~m.$ Tính tỉ số thể tích của bể sau khi làm lại mặt đáy với,thể tích của bể lúc ban đầu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Accepted Answer

Câu 1. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm khoảng cách từ điểm $ M(a; b) $ đến đường thẳng $ d: y = 3x + 6 $: Khoảng cách từ điểm $ M(a; b) $ đến đường thẳng $ d $ được tính theo công thức: $$ d(M, d) = \frac{|3a - b + 6|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{|3a - b + 6|}{\sqrt{10}} $$ 2. Thay tọa độ $ M(a; b) $ vào phương trình của hàm số: Vì $ M(a; b) $ thuộc đồ thị của hàm số $ y = \frac{2x + 1}{x + 2} $, nên ta có: $$ b = \frac{2a + 1}{a + 2} $$ 3. Biểu diễn khoảng cách qua biến $ a $: Thay $ b = \frac{2a + 1}{a + 2} $ vào biểu thức khoảng cách: $$ d(M, d) = \frac{\left| 3a - \frac{2a + 1}{a + 2} + 6 \right|}{\sqrt{10}} $$ Rút gọn biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối: $$ 3a - \frac{2a + 1}{a + 2} + 6 = \frac{3a(a + 2) - (2a + 1) + 6(a + 2)}{a + 2} = \frac{3a^2 + 6a - 2a - 1 + 6a + 12}{a + 2} = \frac{3a^2 + 10a + 11}{a + 2} $$ Vậy khoảng cách là: $$ d(M, d) = \frac{\left| \frac{3a^2 + 10a + 11}{a + 2} \right|}{\sqrt{10}} = \frac{|3a^2 + 10a + 11|}{\sqrt{10}(a + 2)} $$ 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của khoảng cách: Để khoảng cách nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị của $ a $ sao cho $ |3a^2 + 10a + 11| $ nhỏ nhất. Ta xét đạo hàm của $ f(a) = 3a^2 + 10a + 11 $: $$ f'(a) = 6a + 10 $$ Đặt $ f'(a) = 0 $: $$ 6a + 10 = 0 \implies a = -\frac{5}{3} $$ Thay $ a = -\frac{5}{3} $ vào $ b = \frac{2a + 1}{a + 2} $: $$ b = \frac{2(-\frac{5}{3}) + 1}{-\frac{5}{3} + 2} = \frac{-\frac{10}{3} + 1}{\frac{1}{3}} = \frac{-\frac{7}{3}}{\frac{1}{3}} = -7 $$ 5. Tính giá trị của biểu thức $ T = 6a^2 + 7b^2 $: $$ T = 6\left(-\frac{5}{3}\right)^2 + 7(-7)^2 = 6 \cdot \frac{25}{9} + 7 \cdot 49 = \frac{150}{9} + 343 = \frac{150}{9} + \frac{3087}{9} = \frac{3237}{9} = 359.67 $$ Vậy giá trị của biểu thức $ T $ là $ 359.67 $. Câu 2. Số viên bi màu xanh được đánh số là: $$ 30 \times 0.7 = 21 \text{ (viên)} $$ Số viên bi màu đỏ được đánh số là: $$ 20 \times 0.6 = 12 \text{ (viên)} $$ Tổng số viên bi được đánh số là: $$ 21 + 12 = 33 \text{ (viên)} $$ Xác suất để viên bi lấy ra được đánh số là: $$ \frac{33}{50} $$ Xác suất để viên bi lấy ra được đánh số và có màu xanh là: $$ \frac{21}{50} $$ Xác suất để viên bi lấy ra có màu xanh, biết rằng viên bi đó đã được đánh số là: $$ \frac{\frac{21}{50}}{\frac{33}{50}} = \frac{21}{33} = \frac{7}{11} \approx 0.636 $$ Làm tròn đến hàng phần trăm, ta có: $$ 0.636 \approx 0.64 $$ Vậy xác suất để viên bi lấy ra có màu xanh, biết rằng viên bi đó đã được đánh số là: $$ \boxed{0.64} $$ Câu 3. Giá bán x tấn sản phẩm là: $$ P(x) = 45 - 0,001x^2 \text{ (triệu đồng)} $$ Doanh thu từ việc bán x tấn sản phẩm là: $$ R(x) = x \cdot P(x) = x(45 - 0,001x^2) = 45x - 0,001x^3 \text{ (triệu đồng)} $$ Chi phí để sản xuất x tấn sản phẩm là: $$ C(x) = 100 + 30x \text{ (triệu đồng)} $$ Lợi nhuận từ việc bán x tấn sản phẩm là: $$ L(x) = R(x) - C(x) = (45x - 0,001x^3) - (100 + 30x) = 15x - 0,001x^3 - 100 \text{ (triệu đồng)} $$ Để tìm giá trị của x sao cho lợi nhuận lớn nhất, ta tính đạo hàm của $ L(x) $: $$ L'(x) = 15 - 0,003x^2 $$ Đặt $ L'(x) = 0 $: $$ 15 - 0,003x^2 = 0 $$ $$ 0,003x^2 = 15 $$ $$ x^2 = \frac{15}{0,003} = 5000 $$ $$ x = \sqrt{5000} \approx 70,71 $$ Ta kiểm tra dấu của $ L'(x) $ ở hai bên điểm $ x = 70,71 $: - Khi $ x < 70,71 $, $ L'(x) > 0 $ - Khi $ x > 70,71 $, $ L'(x) < 0 $ Vậy $ x = 70,71 $ là điểm cực đại của $ L(x) $. Do đó, nhà máy A cần bán cho nhà máy B khoảng 70,7 tấn sản phẩm mỗi tháng để lợi nhuận thu được lớn nhất. Đáp số: 70,7 tấn Câu 4. Để tính thể tích của vật trang trí, ta sẽ tính thể tích của hai phần riêng biệt và sau đó cộng lại. Bước 1: Tính thể tích của phần hình trụ Phần hình trụ được tạo thành từ việc quay nửa hình chữ nhật ABCD quanh trục MN. Diện tích đáy của hình trụ là: $$ S_{\text{đáy}} = \pi \left(\frac{AD}{2}\right)^2 = \pi \left(\frac{10}{2}\right)^2 = 25\pi $$ Chiều cao của hình trụ là: $$ h = AB = 6 $$ Thể tích của hình trụ là: $$ V_{\text{trụ}} = S_{\text{đáy}} \times h = 25\pi \times 6 = 150\pi $$ Bước 2: Tính thể tích của phần hình cầu Phần hình cầu được tạo thành từ việc quay nửa hình tròn tiếp xúc với hai cạnh AD và BC quanh trục MN. Diện tích đáy của hình cầu là: $$ S_{\text{đáy}} = \pi \left(\frac{AD}{2}\right)^2 = \pi \left(\frac{10}{2}\right)^2 = 25\pi $$ Chiều cao của hình cầu là: $$ h = \frac{AB}{2} = \frac{6}{2} = 3 $$ Thể tích của hình cầu là: $$ V_{\text{cầu}} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \pi \left(\frac{10}{2}\right)^3 = \frac{2}{3} \pi \times 125 = \frac{250}{3} \pi $$ Bước 3: Tính tổng thể tích Tổng thể tích của vật trang trí là: $$ V_{\text{tổng}} = V_{\text{trụ}} + V_{\text{cầu}} = 150\pi + \frac{250}{3} \pi = \frac{450\pi + 250\pi}{3} = \frac{700\pi}{3} $$ Chuyển đổi sang đơn vị cm³ và làm tròn đến hàng phần chục: $$ V_{\text{tổng}} \approx \frac{700 \times 3.14}{3} \approx 733.0 $$ Vậy thể tích của vật trang trí là: $$ \boxed{733.0 \text{ cm}^3} $$ Câu 5. Để tìm tọa độ của điểm M khi du khách ở độ cao 12m, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tìm tọa độ của điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số đã cho. Bước 1: Tìm vectơ AB $$ \overrightarrow{AB} = (21 - 3, 27,5 - 2,5, 10 - 15) = (18, 25, -5) $$ Bước 2: Xác định tỉ số chia đoạn thẳng Du khách ở độ cao 12m, tức là giảm từ 15m xuống còn 12m, tương đương với giảm 3m. Độ dài đoạn thẳng từ A đến B là: $$ |z_A - z_B| = |15 - 10| = 5 \text{ m} $$ Tỉ số chia đoạn thẳng là: $$ k = \frac{15 - 12}{15 - 10} = \frac{3}{5} $$ Bước 3: Tìm tọa độ của điểm M Sử dụng công thức tìm tọa độ của điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số k: $$ M = A + k \cdot \overrightarrow{AB} $$ $$ M = (3, 2,5, 15) + \frac{3}{5} \cdot (18, 25, -5) $$ $$ M = (3, 2,5, 15) + \left(\frac{3}{5} \cdot 18, \frac{3}{5} \cdot 25, \frac{3}{5} \cdot (-5)\right) $$ $$ M = (3, 2,5, 15) + (10,8, 15, -3) $$ $$ M = (3 + 10,8, 2,5 + 15, 15 - 3) = (13,8, 17,5, 12) $$ Bước 4: Tính giá trị của biểu thức $ T = a + b + c $ $$ T = 13,8 + 17,5 + 12 = 43,3 $$ Đáp số: $ T = 43,3 $ Câu 6. Thể tích ban đầu của bể bơi là: $$ V_{\text{ban đầu}} = AB \times AD \times AA' = 10 \times 30 \times 20 = 6000 \, m^3 $$ Diện tích hình chữ nhật A'B'MN là: $$ S_{A'B'MN} = A'B' \times MN = 10 \times 17 = 170 \, m^2 $$ Diện tích hình chữ nhật MNEF là: $$ S_{MNEF} = MN \times EF = 17 \times 13 = 221 \, m^2 $$ Diện tích tam giác D'EF là: $$ S_{D'EF} = \frac{1}{2} \times EF \times D'E = \frac{1}{2} \times 13 \times 13 = 84.5 \, m^2 $$ Diện tích tam giác C'D'N là: $$ S_{C'D'N} = \frac{1}{2} \times C'D' \times DN = \frac{1}{2} \times 20 \times 13 = 130 \, m^2 $$ Diện tích tam giác A'B'M là: $$ S_{A'B'M} = \frac{1}{2} \times A'B' \times BM = \frac{1}{2} \times 10 \times 13 = 65 \, m^2 $$ Diện tích tam giác B'C'N là: $$ S_{B'C'N} = \frac{1}{2} \times B'C' \times CN = \frac{1}{2} \times 20 \times 13 = 130 \, m^2 $$ Diện tích mới của mặt đáy bể bơi là: $$ S_{\text{mặt đáy mới}} = S_{A'B'MN} + S_{MNEF} + S_{D'EF} + S_{C'D'N} + S_{A'B'M} + S_{B'C'N} $$ $$ S_{\text{mặt đáy mới}} = 170 + 221 + 84.5 + 130 + 65 + 130 = 800.5 \, m^2 $$ Thể tích mới của bể bơi là: $$ V_{\text{mới}} = S_{\text{mặt đáy mới}} \times AA' = 800.5 \times 20 = 16010 \, m^3 $$ Tỉ số thể tích của bể sau khi làm lại mặt đáy với thể tích của bể lúc ban đầu là: $$ \frac{V_{\text{mới}}}{V_{\text{ban đầu}}} = \frac{16010}{6000} \approx 2.67 $$ Đáp số: 2.67