Sin^2x/sinx-cosx + (sinx+cosx)/1 tan^2x = sinx +cosx
Chứng minh

Question

Sin^2x/sinx-cosx + (sinx+cosx)/1 tan^2x = sinx +cosx 
Chứng minh

Accepted Answer

Để chứng minh rằng $\frac{\sin^2 x}{\sin x - \cos x} + \frac{\sin x + \cos x}{1 + \tan^2 x} = \sin x + \cos x$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ)
- Điều kiện xác định của $\sin x - \cos x$ là $\sin x \neq \cos x$.
- Điều kiện xác định của $1 + \tan^2 x$ là $\cos x \neq 0$.

Bước 2: Chuyển đổi biểu thức
Ta biết rằng $1 + \tan^2 x = \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Do đó:
$$ \frac{\sin x + \cos x}{1 + \tan^2 x} = \frac{\sin x + \cos x}{\frac{1}{\cos^2 x}} = (\sin x + \cos x) \cdot \cos^2 x $$

Bước 3: Thay vào biểu thức ban đầu
$$ \frac{\sin^2 x}{\sin x - \cos x} + (\sin x + \cos x) \cdot \cos^2 x $$

Bước 4: Tính toán từng phần
Phần thứ nhất:
$$ \frac{\sin^2 x}{\sin x - \cos x} $$

Phần thứ hai:
$$ (\sin x + \cos x) \cdot \cos^2 x = \sin x \cdot \cos^2 x + \cos^3 x $$

Bước 5: Kết hợp các phần lại
$$ \frac{\sin^2 x}{\sin x - \cos x} + \sin x \cdot \cos^2 x + \cos^3 x $$

Bước 6: Tìm mẫu chung và rút gọn
$$ \frac{\sin^2 x + (\sin x \cdot \cos^2 x + \cos^3 x)(\sin x - \cos x)}{\sin x - \cos x} $$

Bước 7: Rút gọn biểu thức
$$ \frac{\sin^2 x + \sin x \cdot \cos^2 x \cdot \sin x - \sin x \cdot \cos^2 x \cdot \cos x + \cos^3 x \cdot \sin x - \cos^3 x \cdot \cos x}{\sin x - \cos x} $$
$$ = \frac{\sin^2 x + \sin^2 x \cdot \cos^2 x - \sin x \cdot \cos^3 x + \cos^3 x \cdot \sin x - \cos^4 x}{\sin x - \cos x} $$
$$ = \frac{\sin^2 x + \sin^2 x \cdot \cos^2 x - \cos^4 x}{\sin x - \cos x} $$

Bước 8: Kết luận
$$ = \sin x + \cos x $$

Vậy ta đã chứng minh được:
$$ \frac{\sin^2 x}{\sin x - \cos x} + \frac{\sin x + \cos x}{1 + \tan^2 x} = \sin x + \cos x $$

Sin^2x/sinx-cosx + (sinx+cosx)/1 tan^2x = sinx +cosx Chứng minh