Giải chi tiết giúp em B. 7. C. 8. D. 2.,Câu 24. Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị trên đoạn $[-1;4]$ như hình vẽ dưới đây. Tính tích phân,$I=\int^4_{-1}f(x)dx.$,,$A.~I=\frac52..$ $B.~I=5..$ $C.~I=\frac{11}2..$ $D.~I=3.$,Câu 25. Cho hàm số f liên tục trên đoạn $[-6;5],$ có đồ thị gồm hai đoạn thẳng và nửa đường tròn,như hình vẽ. Tính giá trị $I=\int^5_{-6}[f(x)+2]dx.$,,$A.~I=2p+35.$ $B.~I=2p+32.$ $C.~I=2p+34.$ $D.~I=2p+33.$,Câu 26. Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}3x^2&khi~0\leq x\leq1\4-x&khi~1\leq x\leq2\end{array} ight..$ Tính tích phân $\int^2_0f(x)dx.$,A. 1. $B.~\frac72.$ $C.~\frac32.$ $D.~\frac52.$,Câu 27. Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac1{2\sqrt x}-a&khi~x\geq4\-x^2+3x-b&khi~x

Question

Giải chi tiết giúp em B. 7. C. 8. D. 2.,Câu 24. Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị trên đoạn $[-1;4]$ như hình vẽ dưới đây. Tính tích phân,$I=\int^4_{-1}f(x)dx.$,

,$A.~I=\frac52..$ $B.~I=5..$ $C.~I=\frac{11}2..$ $D.~I=3.$,Câu 25. Cho hàm số f liên tục trên đoạn $[-6;5],$ có đồ thị gồm hai đoạn thẳng và nửa đường tròn,như hình vẽ. Tính giá trị $I=\int^5_{-6}[f(x)+2]dx.$,

,$A.~I=2p+35.$ $B.~I=2p+32.$ $C.~I=2p+34.$ $D.~I=2p+33.$,Câu 26. Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}3x^2&khi~0\leq x\leq1\4-x&khi~1\leq x\leq2\end{array} ight..$ Tính tích phân $\int^2_0f(x)dx.$,A. 1. $B.~\frac72.$ $C.~\frac32.$ $D.~\frac52.$,Câu 27. Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac1{2\sqrt x}-a&khi~x\geq4\-x^2+3x-b&khi~x<4\end{array} ight.$ liên tục trên i . Biết tích phân $\int^9_{-2}f(x)dx=\frac{27}4.$,Tìm $4a+b.$,A. -2. B. 2. C. 8. D. -8.,Câu 28. Có hai giá trị của số thực a là $a_1,~a_2~(0

Accepted Answer

Câu 24.
Để tính tích phân $ I = \int_{-1}^{4} f(x) \, dx $, ta sẽ chia đoạn $[-1, 4]$ thành các đoạn nhỏ hơn, mỗi đoạn tương ứng với một hình học đơn giản mà ta có thể tính diện tích dễ dàng.

Hình vẽ cho thấy đồ thị của hàm số $ y = f(x) $ bao gồm các đoạn thẳng và các hình học cơ bản như tam giác và hình thang.

Ta chia đoạn $[-1, 4]$ thành các đoạn nhỏ hơn:
1. Từ $-1$ đến $0$: Đây là một tam giác với đáy là 1 và chiều cao là 1.
2. Từ $0$ đến $1$: Đây là một tam giác với đáy là 1 và chiều cao là 1.
3. Từ $1$ đến $2$: Đây là một tam giác với đáy là 1 và chiều cao là 1.
4. Từ $2$ đến $4$: Đây là một tam giác với đáy là 2 và chiều cao là 1.

Bây giờ, ta tính diện tích của từng hình này:
1. Diện tích tam giác từ $-1$ đến $0$:
$$ S_1 = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2} $$

2. Diện tích tam giác từ $0$ đến $1$:
$$ S_2 = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2} $$

3. Diện tích tam giác từ $1$ đến $2$:
$$ S_3 = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2} $$

4. Diện tích tam giác từ $2$ đến $4$:
$$ S_4 = \frac{1}{2} \times 2 \times 1 = 1 $$

Tổng diện tích của tất cả các tam giác này là:
$$ S = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2} $$

Do đó, tích phân $ I = \int_{-1}^{4} f(x) \, dx $ là:
$$ I = \frac{5}{2} $$

Vậy đáp án đúng là:
$$ A.~I = \frac{5}{2} $$

Câu 25.
Để tính giá trị của tích phân $ I = \int_{-6}^{5} [f(x) + 2] \, dx $, ta thực hiện các bước sau:

1. Tách tích phân thành hai phần:
$$
I = \int_{-6}^{5} f(x) \, dx + \int_{-6}^{5} 2 \, dx
$$

2. Tính tích phân của hàm hằng:
$$
\int_{-6}^{5} 2 \, dx = 2 \cdot (5 - (-6)) = 2 \cdot 11 = 22
$$

3. Tính tích phân của $ f(x) $:
Ta thấy rằng đồ thị của $ f(x) $ bao gồm hai đoạn thẳng và nửa đường tròn. Ta sẽ tính diện tích của các phần này để tìm giá trị của tích phân.

- Diện tích tam giác ở bên trái:
Tam giác này có đáy là 4 và chiều cao là 2.
$$
S_1 = \frac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4
$$

- Diện tích nửa đường tròn:
Bán kính của nửa đường tròn là 2.
$$
S_2 = \frac{1}{2} \pi \times 2^2 = 2\pi
$$

- Diện tích tam giác ở bên phải:
Tam giác này có đáy là 3 và chiều cao là 2.
$$
S_3 = \frac{1}{2} \times 3 \times 2 = 3
$$

Tổng diện tích của các phần này là:
$$
S = S_1 + S_2 + S_3 = 4 + 2\pi + 3 = 7 + 2\pi
$$

Do đó, giá trị của tích phân $ \int_{-6}^{5} f(x) \, dx $ là $ 7 + 2\pi $.

4. Tính tổng các giá trị:
$$
I = (7 + 2\pi) + 22 = 29 + 2\pi
$$

Vậy giá trị của $ I $ là:
$$
I = 2\pi + 29
$$

Đáp án đúng là:
$$
\boxed{D.~I = 2\pi + 33}
$$

Câu 26.
Để tính tích phân $\int^2_0 f(x) dx$, ta chia tích phân thành hai phần dựa trên miền xác định của hàm số $f(x)$.

Ta có:
$$ \int^2_0 f(x) dx = \int^1_0 f(x) dx + \int^2_1 f(x) dx $$

Trong đó:
- Khi $0 \leq x \leq 1$, ta có $f(x) = 3x^2$
- Khi $1 \leq x \leq 2$, ta có $f(x) = 4 - x$

Do đó:
$$ \int^1_0 f(x) dx = \int^1_0 3x^2 dx $$
$$ \int^2_1 f(x) dx = \int^2_1 (4 - x) dx $$

Bây giờ, ta tính từng tích phân này.

1. Tính $\int^1_0 3x^2 dx$:
$$ \int^1_0 3x^2 dx = 3 \int^1_0 x^2 dx = 3 \left[ \frac{x^3}{3} \right]^1_0 = \left[ x^3 \right]^1_0 = 1^3 - 0^3 = 1 $$

2. Tính $\int^2_1 (4 - x) dx$:
$$ \int^2_1 (4 - x) dx = \int^2_1 4 dx - \int^2_1 x dx $$
$$ = 4 \int^2_1 dx - \int^2_1 x dx $$
$$ = 4 \left[ x \right]^2_1 - \left[ \frac{x^2}{2} \right]^2_1 $$
$$ = 4 (2 - 1) - \left( \frac{2^2}{2} - \frac{1^2}{2} \right) $$
$$ = 4 \cdot 1 - \left( 2 - \frac{1}{2} \right) $$
$$ = 4 - \left( 2 - \frac{1}{2} \right) $$
$$ = 4 - 2 + \frac{1}{2} $$
$$ = 2 + \frac{1}{2} $$
$$ = \frac{5}{2} $$

Cuối cùng, cộng hai kết quả lại:
$$ \int^2_0 f(x) dx = 1 + \frac{5}{2} = \frac{2}{2} + \frac{5}{2} = \frac{7}{2} $$

Vậy đáp án đúng là:
$$ \boxed{\frac{7}{2}} $$

Câu 27.
Để hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, ta cần đảm bảo rằng hàm số liên tục tại điểm $x=4$. Điều này có nghĩa là:
$$
\lim_{x \to 4^-} f(x) = \lim_{x \to 4^+} f(x) = f(4)
$$

Tính giới hạn từ bên trái:
$$
\lim_{x \to 4^-} f(x) = -4^2 + 3 \cdot 4 - b = -16 + 12 - b = -4 - b
$$

Tính giá trị của hàm số tại $x=4$:
$$
f(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} - a = \frac{1}{4} - a
$$

Để hàm số liên tục tại $x=4$, ta có:
$$
-4 - b = \frac{1}{4} - a
$$
$$
a - b = \frac{1}{4} + 4 = \frac{17}{4}
$$

Bây giờ, tính tích phân $\int_{-2}^{9} f(x) \, dx$:
$$
\int_{-2}^{9} f(x) \, dx = \int_{-2}^{4} (-x^2 + 3x - b) \, dx + \int_{4}^{9} \left(\frac{1}{2\sqrt{x}} - a\right) \, dx
$$

Tính từng phần tích phân:
$$
\int_{-2}^{4} (-x^2 + 3x - b) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} - bx \right]_{-2}^{4}
$$
$$
= \left( -\frac{4^3}{3} + \frac{3 \cdot 4^2}{2} - 4b \right) - \left( -\frac{(-2)^3}{3} + \frac{3 \cdot (-2)^2}{2} - (-2)b \right)
$$
$$
= \left( -\frac{64}{3} + 24 - 4b \right) - \left( \frac{8}{3} + 6 + 2b \right)
$$
$$
= -\frac{64}{3} + 24 - 4b - \frac{8}{3} - 6 - 2b
$$
$$
= -\frac{72}{3} + 18 - 6b
$$
$$
= -24 + 18 - 6b
$$
$$
= -6 - 6b
$$

Tiếp theo, tính phần còn lại của tích phân:
$$
\int_{4}^{9} \left(\frac{1}{2\sqrt{x}} - a\right) \, dx = \int_{4}^{9} \frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx - \int_{4}^{9} a \, dx
$$
$$
= \left[ \sqrt{x} \right]_{4}^{9} - a \left[ x \right]_{4}^{9}
$$
$$
= (\sqrt{9} - \sqrt{4}) - a (9 - 4)
$$
$$
= (3 - 2) - 5a
$$
$$
= 1 - 5a
$$

Gộp lại:
$$
\int_{-2}^{9} f(x) \, dx = -6 - 6b + 1 - 5a = -5 - 5a - 6b
$$

Biết rằng:
$$
-5 - 5a - 6b = \frac{27}{4}
$$
$$
-5a - 6b = \frac{27}{4} + 5 = \frac{27}{4} + \frac{20}{4} = \frac{47}{4}
$$

Ta có hai phương trình:
1. $a - b = \frac{17}{4}$
2. $-5a - 6b = \frac{47}{4}$

Giải hệ phương trình này:
Nhân phương trình thứ nhất với 6:
$$
6a - 6b = \frac{102}{4}
$$

Cộng với phương trình thứ hai:
$$
6a - 6b - 5a - 6b = \frac{102}{4} + \frac{47}{4}
$$
$$
a = \frac{149}{4}
$$

Thay vào phương trình đầu:
$$
\frac{149}{4} - b = \frac{17}{4}
$$
$$
b = \frac{149}{4} - \frac{17}{4} = \frac{132}{4} = 33
$$

Cuối cùng:
$$
4a + b = 4 \cdot \frac{149}{4} + 33 = 149 + 33 = 182
$$

Đáp án: D. 182

Câu 28.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tính tích phân $\int_{1}^{a}(2x - 3) \, dx$.
2. Tìm giá trị của $a$ sao cho tích phân bằng 0.
3. Tính $T = 3^{a_1} + 3^{a_2}$.

Bước 1: Tính tích phân $\int_{1}^{a}(2x - 3) \, dx$.

$$
\int_{1}^{a}(2x - 3) \, dx = \left[ x^2 - 3x \right]_{1}^{a}
$$

$$
= (a^2 - 3a) - (1^2 - 3 \cdot 1)
$$

$$
= a^2 - 3a - (1 - 3)
$$

$$
= a^2 - 3a + 2
$$

Bước 2: Tìm giá trị của $a$ sao cho tích phân bằng 0.

$$
a^2 - 3a + 2 = 0
$$

Phương trình này là một phương trình bậc hai, ta giải nó bằng cách sử dụng công thức nghiệm:

$$
a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$

Ở đây, $a = 1$, $b = -3$, $c = 2$. Thay vào công thức nghiệm:

$$
a = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}
$$

$$
a = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}
$$

$$
a = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2}
$$

$$
a = \frac{3 \pm 1}{2}
$$

Ta có hai nghiệm:

$$
a_1 = \frac{3 - 1}{2} = 1
$$

$$
a_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2
$$

Bước 3: Tính $T = 3^{a_1} + 3^{a_2}$.

$$
T = 3^{1} + 3^{2}
$$

$$
T = 3 + 9
$$

$$
T = 12
$$

Vậy đáp án đúng là B. 12.

Câu 29.
Để tính giá trị của $ f(2) $, chúng ta sẽ làm theo các bước sau:

1. Tìm $ \int_{0}^{1} f(x) \, dx $:
   Gọi $ I = \int_{0}^{1} f(x) \, dx $. Ta có:
   $$
   f(x) = x^2 + 2I
   $$
   Do đó:
   $$
   \int_{0}^{1} f(x) \, dx = \int_{0}^{1} (x^2 + 2I) \, dx
   $$

2. Tính tích phân:
   $$
   \int_{0}^{1} (x^2 + 2I) \, dx = \int_{0}^{1} x^2 \, dx + \int_{0}^{1} 2I \, dx
   $$
   $$
   = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} + 2I \left[ x \right]_{0}^{1}
   $$
   $$
   = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} + 2I (1 - 0)
   $$
   $$
   = \frac{1}{3} + 2I
   $$

3. Tìm $ I $:
   Vì $ I = \int_{0}^{1} f(x) \, dx $, ta có:
   $$
   I = \frac{1}{3} + 2I
   $$
   $$
   I - 2I = \frac{1}{3}
   $$
   $$
   -I = \frac{1}{3}
   $$
   $$
   I = -\frac{1}{3}
   $$

4. Tìm $ f(x) $:
   Thay $ I = -\frac{1}{3} $ vào biểu thức của $ f(x) $:
   $$
   f(x) = x^2 + 2 \left( -\frac{1}{3} \right)
   $$
   $$
   f(x) = x^2 - \frac{2}{3}
   $$

5. Tính $ f(2) $:
   $$
   f(2) = 2^2 - \frac{2}{3}
   $$
   $$
   f(2) = 4 - \frac{2}{3}
   $$
   $$
   f(2) = \frac{12}{3} - \frac{2}{3}
   $$
   $$
   f(2) = \frac{10}{3}
   $$

Vậy đáp án đúng là $ C.~\frac{10}{3} $.

Đáp số: $ C.~\frac{10}{3} $