Giúp tui vs a) Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng $25\sqrt3.$,b) Góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (BB'C'C) bằng 30',$30^0.$,cc) AA', CCBB khôn hhải là gó hị iinnvuôôgg.,d) Khoảng cách giữa 2 đường thẳng AA' và BC bằng $\frac{5\sqrt3}2.$,Câu 4: Một chiếc máy có hai động cơ I và II hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để động cơ 1 và,động cơ II chạy tốt lần lượt là 0,7 và 0,8.,aa) Xác suất để cả hai động cơ đều chạy tốt là 0,56.,bb) Xác suất để cả hai động cơ đều không chạy tốt là 0,06.,c) Xác suất để có đúng một trong hai động chạy tốt là 0,83.,4 d) Xác suất để có ít nhất một động cơ chạy tốt là 0,94.,PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.,Câu 1. Trong dịp lễ 30-4 và 1-5 thì một nhóm các em thiếu niên tham gia trò chơi "Ném vòng cổ,chai lấy thường". Mỗi em được ném tối đa 3 vòng. Xác suất ném vào cổ trai lần đầu là 0,65. Nếu,ném trượt lần đầu thì được ném vòng 2, xác suất ném vào cổ chai lần thứ hai là 0,5. Nếu ném trượt,cả lần 1 và lần 2 thì được ném vòng 3, xác suất ném vào cổ chai ở lần thứ ba (lần cuối) là 0,2. Chọn,ngẫu nhiên một em trong nhóm chơi. Tính xác suất để em đó ném vào đúng cổ chai. (Kết quả làm,tròn đến hàng phần trăm).,Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh SA = a và SA vuông góc,với mặt phẳng đáy. Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh BC,SD và ơ là góc giữa đường,thẳng MN và (SAC). Tính tan a (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).,Câu 3. Một cái lều có dạng hình lăng trụ ABC - A B'C có cạnh bên AÁ vuông góc với đáy (ABC),Cho biết $AB=AC=2,6~m,~BC=2~m$ (tham khảo hình vẽ). Tính cosin góc giữa hai đường thẳng,A'B' và AC (kết quả làm tròn đến hàng phần chục),

Question

Accepted Answer

Câu 4:
Để giải quyết bài toán xác suất này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu.

a) Xác suất để cả hai động cơ đều chạy tốt:
- Xác suất để động cơ I chạy tốt là $ P(I) = 0,7 $.
- Xác suất để động cơ II chạy tốt là $ P(II) = 0,8 $.

Vì hai động cơ hoạt động độc lập với nhau, nên xác suất để cả hai động cơ đều chạy tốt là:
$$ P(I \cap II) = P(I) \times P(II) = 0,7 \times 0,8 = 0,56 $$

b) Xác suất để cả hai động cơ đều không chạy tốt:
- Xác suất để động cơ I không chạy tốt là $ P(\overline{I}) = 1 - P(I) = 1 - 0,7 = 0,3 $.
- Xác suất để động cơ II không chạy tốt là $ P(\overline{II}) = 1 - P(II) = 1 - 0,8 = 0,2 $.

Vì hai động cơ hoạt động độc lập với nhau, nên xác suất để cả hai động cơ đều không chạy tốt là:
$$ P(\overline{I} \cap \overline{II}) = P(\overline{I}) \times P(\overline{II}) = 0,3 \times 0,2 = 0,06 $$

c) Xác suất để có đúng một trong hai động cơ chạy tốt:
- Xác suất để động cơ I chạy tốt và động cơ II không chạy tốt là:
$$ P(I \cap \overline{II}) = P(I) \times P(\overline{II}) = 0,7 \times 0,2 = 0,14 $$
- Xác suất để động cơ I không chạy tốt và động cơ II chạy tốt là:
$$ P(\overline{I} \cap II) = P(\overline{I}) \times P(II) = 0,3 \times 0,8 = 0,24 $$

Vậy xác suất để có đúng một trong hai động cơ chạy tốt là:
$$ P(\text{đúng một động cơ chạy tốt}) = P(I \cap \overline{II}) + P(\overline{I} \cap II) = 0,14 + 0,24 = 0,38 $$

d) Xác suất để có ít nhất một động cơ chạy tốt:
- Xác suất để có ít nhất một động cơ chạy tốt là:
$$ P(\text{ít nhất một động cơ chạy tốt}) = 1 - P(\text{cả hai động cơ đều không chạy tốt}) = 1 - 0,06 = 0,94 $$

Tóm lại:
a) Xác suất để cả hai động cơ đều chạy tốt là 0,56.
b) Xác suất để cả hai động cơ đều không chạy tốt là 0,06.
c) Xác suất để có đúng một trong hai động cơ chạy tốt là 0,38.
d) Xác suất để có ít nhất một động cơ chạy tốt là 0,94.

Câu 1.
Xác suất để em đó ném vào cổ chai lần đầu là 0,65.

Xác suất để em đó ném vào cổ chai lần thứ hai là:
$$ P_2 = (1 - 0,65) \times 0,5 = 0,35 \times 0,5 = 0,175 $$

Xác suất để em đó ném vào cổ chai lần thứ ba là:
$$ P_3 = (1 - 0,65) \times (1 - 0,5) \times 0,2 = 0,35 \times 0,5 \times 0,2 = 0,035 $$

Tổng xác suất để em đó ném vào cổ chai là:
$$ P = 0,65 + 0,175 + 0,035 = 0,86 $$

Vậy xác suất để em đó ném vào cổ chai là 0,86.

Câu 2.
Trước tiên, ta xác định các điểm và đường thẳng liên quan:
- Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy.
- M là trung điểm của BC, N là trung điểm của SD.

Ta cần tính góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (SAC).

Bước 1: Xác định tọa độ các đỉnh của hình chóp.
- Gọi A(0, 0, 0), B(a, 0, 0), C(a, a, 0), D(0, a, 0), S(0, 0, a).

Bước 2: Tìm tọa độ của các điểm M và N.
- M là trung điểm của BC, nên M có tọa độ $\left(\frac{a + a}{2}, \frac{0 + a}{2}, 0\right) = \left(a, \frac{a}{2}, 0\right)$.
- N là trung điểm của SD, nên N có tọa độ $\left(\frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + a}{2}, \frac{0 + a}{2}\right) = \left(0, \frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right)$.

Bước 3: Tìm vectơ MN.
- Vectơ MN = N - M = $\left(0 - a, \frac{a}{2} - \frac{a}{2}, \frac{a}{2} - 0\right) = (-a, 0, \frac{a}{2})$.

Bước 4: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SAC).
- Mặt phẳng (SAC) có hai vectơ AC và AS.
- AC = C - A = (a, a, 0).
- AS = S - A = (0, 0, a).
- Vectơ pháp tuyến của (SAC) là $\vec{n} = \vec{AC} \times \vec{AS} = \begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \
a & a & 0 \
0 & 0 & a
\end{vmatrix} = (a^2, -a^2, 0)$.

Bước 5: Tính góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (SAC).
- Ta có $\cos \theta = \frac{|\vec{MN} \cdot \vec{n}|}{|\vec{MN}| |\vec{n}|}$.
- $\vec{MN} \cdot \vec{n} = (-a, 0, \frac{a}{2}) \cdot (a^2, -a^2, 0) = -a \cdot a^2 + 0 \cdot (-a^2) + \frac{a}{2} \cdot 0 = -a^3$.
- $|\vec{MN}| = \sqrt{(-a)^2 + 0^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$.
- $|\vec{n}| = \sqrt{(a^2)^2 + (-a^2)^2 + 0^2} = \sqrt{2a^4} = a^2\sqrt{2}$.
- $\cos \theta = \frac{|-a^3|}{\frac{a\sqrt{5}}{2} \cdot a^2\sqrt{2}} = \frac{a^3}{\frac{a^3\sqrt{10}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{5}$.
- $\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{10}}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{10}{25}} = \sqrt{\frac{15}{25}} = \frac{\sqrt{15}}{5}$.
- $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\frac{\sqrt{15}}{5}}{\frac{\sqrt{10}}{5}} = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{10}} = \sqrt{\frac{15}{10}} = \sqrt{1.5} \approx 1.22$.

Vậy, $\tan \theta \approx 1.22$.

Câu 3.
Để tính cosin góc giữa hai đường thẳng A'B' và AC, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm độ dài các đoạn thẳng liên quan:
   - Ta đã biết $ AB = AC = 2,6 \, m $ và $ BC = 2 \, m $.

2. Tính độ dài đoạn thẳng AA':
   - Vì A'A vuông góc với đáy (ABC), nên A'A là chiều cao của lăng trụ.

3. Tính độ dài đoạn thẳng B'C:
   - Vì B'C song song với BC, nên B'C = BC = 2 m.

4. Tính độ dài đoạn thẳng A'B':
   - A'B' = AB = 2,6 m (do A'B' song song với AB).

5. Tính độ dài đoạn thẳng A'C:
   - A'C = AC = 2,6 m (do A'C song song với AC).

6. Tính góc giữa hai đường thẳng A'B' và AC:
   - Ta sử dụng công thức tính cosin góc giữa hai đường thẳng trong không gian:
     $$
     \cos(\theta) = \frac{\vec{A'B'} \cdot \vec{AC}}{|\vec{A'B'}| |\vec{AC}|}
     $$
   - Trong đó, $\vec{A'B'}$ và $\vec{AC}$ là các vectơ tương ứng với các đoạn thẳng A'B' và AC.

7. Tính tích vô hướng $\vec{A'B'} \cdot \vec{AC}$:
   - Ta có thể sử dụng công thức tính tích vô hướng:
     $$
     \vec{A'B'} \cdot \vec{AC} = |A'B'| \cdot |AC| \cdot \cos(\alpha)
     $$
   - Trong đó, $\alpha$ là góc giữa hai đường thẳng A'B' và AC.

8. Tính góc $\alpha$:
   - Ta thấy rằng A'B' và AC nằm trong cùng một mặt phẳng và vuông góc với đáy (ABC). Do đó, góc giữa chúng là góc giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng này.
   - Ta có thể sử dụng công thức tính cosin góc giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng:
     $$
     \cos(\alpha) = \frac{A'B' \cdot AC + B'C \cdot AB}{|A'B'| \cdot |AC|}
     $$

9. Thay các giá trị vào công thức:
   - Ta có:
     $$
     \cos(\alpha) = \frac{2,6 \cdot 2,6 + 2 \cdot 2,6}{2,6 \cdot 2,6}
     $$
   - Tính toán:
     $$
     \cos(\alpha) = \frac{6,76 + 5,2}{6,76} = \frac{11,96}{6,76} \approx 1,77
     $$

10. Kết luận:
    - Ta thấy rằng kết quả trên không hợp lý vì cosin của một góc không thể lớn hơn 1. Do đó, ta cần kiểm tra lại các bước tính toán.

- Ta nhận thấy rằng ta đã nhầm lẫn trong việc tính góc giữa hai đường thẳng. Ta cần sử dụng phương pháp khác để tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian.

- Ta sử dụng phương pháp chiếu trực giao của điểm lên đường thẳng để tính góc giữa hai đường thẳng.

- Ta có:
      $$
      \cos(\theta) = \frac{|A'B' \cdot AC|}{|A'B'| \cdot |AC|}
      $$

- Thay các giá trị vào công thức:
      $$
      \cos(\theta) = \frac{|2,6 \cdot 2,6|}{2,6 \cdot 2,6} = \frac{6,76}{6,76} = 1
      $$

- Kết luận:
      $$
      \cos(\theta) = 1
      $$

- Vậy góc giữa hai đường thẳng A'B' và AC là 0 độ.

Đáp số: $\cos(\theta) = 1$.