Bakskkwnvuziwkksixiid

Câu 20: Để tìm đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau AB và CD trong tứ diện đều ABCD có cạnh 2a, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tâm của tứ diện: - Tứ diện đều ABCD có tất cả các mặt đều là tam giác đều. Tâm của mỗi mặt là trung điểm của đường cao hạ từ đỉnh xuống đáy của tam giác đều đó. - Tâm của tứ diện đều nằm ở giao điểm của các đường thẳng nối tâm của các mặt với đỉnh đối diện. 2. Tìm đoạn vuông góc chung: - Ta gọi O là tâm của tứ diện đều ABCD. Ta sẽ tìm đoạn vuông góc chung của AB và CD đi qua O. - Gọi H là chân đường cao hạ từ A xuống mặt BCD. Vì ABCD là tứ diện đều nên H cũng là tâm của tam giác đều BCD. - Ta có AH vuông góc với mặt BCD, do đó AH vuông góc với CD. - Mặt khác, vì ABCD là tứ diện đều nên AB = AC = AD và tam giác ABD cân tại A. Do đó, đường cao hạ từ A xuống BD cũng là đường trung trực của BD, tức là AH vuông góc với BD. - Kết hợp hai điều trên, ta thấy rằng AH vuông góc với cả BD và CD, do đó AH vuông góc với mặt BCD. 3. Tính độ dài đoạn vuông góc chung: - Độ dài đoạn vuông góc chung chính là khoảng cách từ A đến mặt BCD. - Diện tích tam giác đều BCD là: $$ - Thể tích của tứ diện ABCD là: $$ - Ta cũng có thể tính thể tích của tứ diện ABCD bằng cách lấy 1/6 thể tích khối hộp ngoại tiếp tứ diện đều, nhưng dễ dàng hơn là sử dụng công thức: $$ - Bằng cách so sánh hai biểu thức thể tích, ta có: $$ $$ Vậy đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau AB và CD là đoạn AH, và độ dài của nó là $$.