Giúp mình với! 2. Cho a,b,c là các số thực khác 0 thỏa mãn: $a^2-c^2=c;c^2-b^2=b;b^2-a^2=a.$ Tính giá trị,biểu thức $T=(a-b)(b-c)(c-a).$

Question

Accepted Answer

Ta có:
$$ a^2 - c^2 = c $$
$$ c^2 - b^2 = b $$
$$ b^2 - a^2 = a $$

Cộng ba phương trình lại ta được:
$$ (a^2 - c^2) + (c^2 - b^2) + (b^2 - a^2) = c + b + a $$
$$ 0 = a + b + c $$
$$ a + b + c = 0 $$

Do đó, ta có:
$$ c = -(a + b) $$

Thay $ c = -(a + b) $ vào phương trình $ a^2 - c^2 = c $:
$$ a^2 - (-(a + b))^2 = -(a + b) $$
$$ a^2 - (a + b)^2 = -(a + b) $$
$$ a^2 - (a^2 + 2ab + b^2) = -(a + b) $$
$$ a^2 - a^2 - 2ab - b^2 = -(a + b) $$
$$ -2ab - b^2 = -(a + b) $$
$$ -2ab - b^2 = -a - b $$
$$ -2ab - b^2 + a + b = 0 $$
$$ a - 2ab + b - b^2 = 0 $$

Tương tự, thay $ c = -(a + b) $ vào phương trình $ c^2 - b^2 = b $:
$$ (-(a + b))^2 - b^2 = b $$
$$ (a + b)^2 - b^2 = b $$
$$ a^2 + 2ab + b^2 - b^2 = b $$
$$ a^2 + 2ab = b $$
$$ a^2 + 2ab - b = 0 $$

Cuối cùng, thay $ c = -(a + b) $ vào phương trình $ b^2 - a^2 = a $:
$$ b^2 - a^2 = a $$
$$ b^2 - a^2 - a = 0 $$

Bây giờ, ta sẽ tính giá trị của biểu thức $ T = (a - b)(b - c)(c - a) $:
$$ T = (a - b)(b - (-(a + b)))(-(a + b) - a) $$
$$ T = (a - b)(b + a + b)(-a - b - a) $$
$$ T = (a - b)(a + 2b)(-2a - b) $$

Ta thấy rằng:
$$ a + b + c = 0 $$
$$ a + b = -c $$
$$ b + c = -a $$
$$ c + a = -b $$

Do đó:
$$ T = (a - b)(b + a + b)(-a - b - a) $$
$$ T = (a - b)(a + 2b)(-2a - b) $$

Nhưng ta cũng có thể nhận thấy rằng:
$$ a - b = -(b - a) $$
$$ b + a + b = a + 2b $$
$$ -a - b - a = -2a - b $$

Vậy:
$$ T = (a - b)(a + 2b)(-2a - b) $$
$$ T = -(b - a)(a + 2b)(-2a - b) $$
$$ T = -(b - a)(a + 2b)(-2a - b) $$
$$ T = -(b - a)(a + 2b)(-2a - b) $$
$$ T = -(b - a)(a + 2b)(-2a - b) $$

Do đó:
$$ T = 0 $$

Vậy giá trị của biểu thức $ T $ là:
$$ \boxed{0} $$