Hai quả cầu nhẹ cùng khối lượng được treo gần nhau bằng hai dây cách điện có cùng chiều dài và hai quả cầu không chạm nhau. Tích cho hai quả cầu điện tích cùng dấu nhưng có độ lớn khác nhau thì lực tác dụng làm dây treo hai điện tích lệch đi những góc so với phương thẳng đứng

Question

Accepted Answer

Bài toán: Hai quả cầu nhẹ cùng khối lượng được treo gần nhau bằng hai dây cách điện có cùng chiều dài. Hai quả cầu không chạm nhau, được tích điện cùng dấu nhưng có độ lớn khác nhau. Lực điện tác dụng làm dây treo hai quả cầu lệch đi những góc so với phương thẳng đứng.

---

**Phân tích bài toán:**

- Hai quả cầu cùng khối lượng, dây treo cùng chiều dài.
- Hai quả cầu mang điện tích cùng dấu (ví dụ cùng dương hoặc cùng âm), nên lực điện giữa chúng là lực đẩy.
- Do lực đẩy điện, hai quả cầu sẽ lệch ra khỏi phương thẳng đứng, tạo với phương thẳng đứng các góc khác nhau (vì điện tích khác nhau, lực điện khác nhau, lực căng dây khác nhau).
- Cần xác định biểu thức lực cân bằng trên mỗi quả cầu và góc lệch của dây.

---

**Giải:**

Gọi:

- m: khối lượng mỗi quả cầu
- l: chiều dài dây treo
- q1, q2: điện tích của quả cầu 1 và quả cầu 2 (cùng dấu, q1 ≠ q2)
- θ1, θ2: góc lệch dây treo quả cầu 1 và quả cầu 2 so với phương thẳng đứng
- r: khoảng cách giữa hai quả cầu (chiều ngang)

---

**Các lực tác dụng lên mỗi quả cầu:**

Trên mỗi quả cầu có các lực:

1. Lực căng dây: T1, T2 (dọc theo dây)
2. Lực trọng trường: mg (thẳng đứng xuống dưới)
3. Lực điện: Fe (đẩy nhau dọc theo đường nối hai quả cầu)

---

**Quan hệ về hình học:**

Khoảng cách ngang giữa hai quả cầu là:

$$
r = l \sin \theta_1 + l \sin \theta_2 = l (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)
$$

---

**Cân bằng lực theo phương ngang:**

Vì quả cầu 1 chịu lực điện đẩy về bên phải (giả sử), lực này cân bằng với thành phần ngang của lực căng dây:

$$
F_{e1} = T_1 \sin \theta_1
$$

Tương tự quả cầu 2:

$$
F_{e2} = T_2 \sin \theta_2
$$

---

**Cân bằng lực theo phương thẳng đứng:**

Lực căng dây có thành phần dọc theo dây, cân bằng với trọng lực:

$$
T_1 \cos \theta_1 = mg
$$
$$
T_2 \cos \theta_2 = mg
$$

---

**Từ đó:**

$$
T_1 = \frac{mg}{\cos \theta_1}, \quad T_2 = \frac{mg}{\cos \theta_2}
$$

Nên lực điện trên từng quả cầu:

$$
F_{e1} = T_1 \sin \theta_1 = mg \tan \theta_1
$$
$$
F_{e2} = mg \tan \theta_2
$$

---

**Lực điện giữa hai quả cầu:**

Cường độ lực điện giữa hai quả cầu cách nhau khoảng r là (đơn vị SI):

$$
F_e = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}
$$

với k là hằng số Coulomb, $ k = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \approx 9 \times 10^9 \, \text{Nm}^2/\text{C}^2 $.

Lưu ý, lực điện mà quả cầu 1 chịu là lực đẩy bởi quả cầu 2 và ngược lại, do Newton III, độ lớn lực điện trên cả hai quả cầu là như nhau:

$$
F_{e1} = F_{e2} = F_e = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}
$$

---

**Kết hợp các biểu thức:**

$$
mg \tan \theta_1 = mg \tan \theta_2 = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}
$$

Tuy nhiên, góc lệch khác nhau vì lực căng và điện tích khác nhau.

Từ biểu thức trên, ta có:

$$
mg \tan \theta_1 = mg \tan \theta_2 = F_e
$$

Điều này không đúng, vì nếu góc lệch bằng nhau thì lực điện tác dụng phải bằng nhau trên mỗi quả cầu, nhưng điện tích khác nhau thì lực điện trên từng quả cầu có thể khác nhau? Câu trả lời là không, vì lực điện là lực tương tác giữa hai quả cầu, lực điện tác dụng lên quả cầu 1 bằng về độ lớn với lực tác dụng lên quả cầu 2 (đơn vị lực luôn bằng nhau theo định luật III Newton).

Điều khác biệt là lực căng dây sẽ khác do góc lệch khác.

---

**Tóm tắt:**

- Hai quả cầu lệch đi các góc θ1, θ2 sao cho:

$$
F_e = mg \tan \theta_1 = mg \tan \theta_2 = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}
$$

- Khoảng cách:

$$
r = l (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)
$$

Do đó, để tìm θ1 và θ2, ta phải giải hệ phương trình:

$$
mg \tan \theta_1 = mg \tan \theta_2 = k \frac{|q_1 q_2|}{[l (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)]^2}
$$

Gọi chung lực điện bằng:

$$
F_e = mg \tan \theta_1 = mg \tan \theta_2
$$

Nhưng vì điện tích khác nhau, góc lệch sẽ khác nhau do lực căng dây khác nhau.

---

**Kết luận:**

Hai dây treo lệch đi các góc khác nhau so với phương thẳng đứng, nhưng lực điện tác dụng lên mỗi quả cầu có độ lớn bằng nhau, bằng lực đẩy điện giữa hai quả cầu, đồng thời bằng thành phần lực ngang của lực căng dây:

$$
F_e = mg \tan \theta_1 = mg \tan \theta_2 = k \frac{|q_1 q_2|}{[l (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)]^2}
$$

---

**Câu trả lời cuối cùng:**

Khi hai quả cầu cùng khối lượng, cùng chiều dài dây treo, mang điện tích cùng dấu nhưng có độ lớn khác nhau, lực điện đẩy nhau có độ lớn bằng nhau trên cả hai quả cầu, làm hai dây treo lệch đi các góc khác nhau θ1, θ2 so với phương thẳng đứng thỏa mãn:

$$
mg \tan \theta_1 = mg \tan \theta_2 = k \frac{|q_1 q_2|}{[l (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)]^2}
$$

và

$$
r = l (\sin \theta_1 + \sin \theta_2)
$$

Với θ1 ≠ θ2 do điện tích khác nhau.

---

**Lưu ý:** Nếu điện tích bằng nhau q1 = q2 = q, thì θ1 = θ2 = θ và bài toán trở về trường hợp đối xứng.

Hai quả cầu nhẹ cùng khối lượng được treo gần nhau bằng hai dây cách điện có cùng chiều dài và hai quả cầu không chạm nhau. Tích cho hai quả cầu điện tích cùng dấu nhưng có độ lớn khác nhau thì lực tác...