Câu 64.
Để tìm phương trình mặt phẳng (MNP) đi qua ba điểm , , và , ta sử dụng phương pháp lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm.
Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm , , và có dạng:
Áp dụng vào bài toán:
- Điểm
- Điểm
- Điểm
Ta có:
Tính định thức:
Phát triển theo hàng đầu:
Tính các định thức 2x2:
Chia cả hai vế cho 2:
Vậy phương trình mặt phẳng (MNP) là:
Đáp án đúng là:
Câu 65.
Để tìm phương trình mặt phẳng (ABC) đi qua ba điểm , , và , ta sẽ sử dụng phương pháp tìm phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm đã cho.
Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm , , và có dạng:
Áp dụng vào bài toán:
-
-
-
Ta có:
Tính định thức:
Mở rộng theo hàng đầu:
Tính các định thức 2x2:
Chia cả hai vế cho 6:
Như vậy, phương trình mặt phẳng (ABC) là:
Do đó, đáp án đúng là:
Câu 66.
Để tìm phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm , và , ta thực hiện các bước sau:
1. Tìm hai vectơ nằm trên mặt phẳng:
- Vectơ từ điểm đến điểm :
- Vectơ từ điểm đến điểm :
2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng:
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là tích vector của và :
Ta tính tích vector:
Vậy .
3. Viết phương trình mặt phẳng:
- Phương trình mặt phẳng có dạng , trong đó là vectơ pháp tuyến và là tọa độ của một điểm trên mặt phẳng.
- Thay và điểm vào phương trình:
Chia cả hai vế cho 6 để đơn giản hóa phương trình:
Vậy phương trình mặt phẳng là:
Câu 67.
Để tìm phương trình mặt phẳng (MNP) đi qua ba điểm M(1;0;0), N(0;2;0), P(0;0;3), ta thực hiện các bước sau:
1. Tìm hai vectơ trong mặt phẳng:
- Vectơ
- Vectơ
2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng:
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (MNP) là tích vector của và :
3. Lập phương trình mặt phẳng:
- Phương trình mặt phẳng có dạng: , với là các thành phần của vectơ pháp tuyến .
- Thay tọa độ của điểm M(1;0;0) vào phương trình để tìm D:
- Vậy phương trình mặt phẳng là:
Do đó, phương án đúng là:
Câu 68.
Để viết phương trình mặt phẳng (ABC) đi qua ba điểm , , và , ta thực hiện các bước sau:
1. Tìm hai vectơ trong mặt phẳng:
- Vectơ :
- Vectơ :
2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng:
- Vectơ pháp tuyến là tích vector của và :
Ta tính tích vector:
3. Viết phương trình mặt phẳng:
- Phương trình mặt phẳng có dạng , trong đó là vectơ pháp tuyến và là hằng số.
- Ta thay vào phương trình:
- Để tìm , ta thay tọa độ của điểm vào phương trình:
4. Phương trình cuối cùng của mặt phẳng:
Do đó, phương trình mặt phẳng (ABC) là:
Vậy đáp án đúng là: .
Câu 69.
Để tìm phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm , , và , ta thực hiện các bước sau:
1. Tìm hai vectơ nằm trên mặt phẳng:
- Vectơ :
- Vectơ :
2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng:
- Vectơ pháp tuyến là tích vector của và :
Ta tính tích vector:
3. Viết phương trình mặt phẳng:
- Phương trình mặt phẳng có dạng , trong đó là các thành phần của vectơ pháp tuyến . Ta có:
- Để tìm , thay tọa độ của điểm vào phương trình:
4. Phương trình cuối cùng:
- Thay vào phương trình:
- Chia cả phương trình cho -2 để đơn giản hóa:
Vậy phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm , , và là:
Câu 70.
Để tìm phương trình mặt phẳng (ABC) đi qua ba điểm , , và , ta sẽ sử dụng phương pháp tìm phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm đã cho.
Bước 1: Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).
Ta tính hai vectơ nằm trên mặt phẳng:
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là tích vector của và :
Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng (ABC) dưới dạng tổng quát.
Phương trình mặt phẳng có dạng:
Trong đó, là các thành phần của vectơ pháp tuyến . Ta thay vào phương trình:
Bước 3: Tìm giá trị của bằng cách thay tọa độ của một trong ba điểm vào phương trình mặt phẳng.
Chọn điểm :
Vậy phương trình mặt phẳng (ABC) là:
Bước 4: Chuyển đổi phương trình về dạng chuẩn.
Chia cả phương trình cho -42:
Nhân cả phương trình với -1 để có dạng chuẩn:
Do đó, phương án đúng là:
Câu 71.
Để tìm phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm , , và , ta sử dụng phương pháp tìm phương trình mặt phẳng theo dạng chuẩn.
Phương trình mặt phẳng có dạng:
Trong đó, là tọa độ của một điểm trên mặt phẳng và là các số thực khác 0.
Ta chọn điểm làm điểm tham chiếu, tức là , , .
Tiếp theo, ta cần tìm các số . Ta sẽ sử dụng hai vectơ và :
- Vectơ :
- Vectơ :
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là tích vector của và :
Do đó, vectơ pháp tuyến .
Phương trình mặt phẳng sẽ có dạng:
Chia cả phương trình cho -6 để đưa về dạng chuẩn:
Như vậy, phương trình mặt phẳng là:
Đáp án đúng là:
Câu 72.
Để viết phương trình mặt phẳng (ABC), ta thực hiện các bước sau:
1. Tìm tọa độ các điểm A, B, C:
- Điểm A là hình chiếu của M lên trục Ox, do đó tọa độ của A là .
- Điểm B là hình chiếu của M lên trục Oy, do đó tọa độ của B là .
- Điểm C là hình chiếu của M lên trục Oz, do đó tọa độ của C là .
2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC):
- Vectơ .
- Vectơ .
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là tích vector của và :
3. Viết phương trình mặt phẳng (ABC):
- Phương trình mặt phẳng có dạng , trong đó là vectơ pháp tuyến và là tọa độ của một điểm trên mặt phẳng.
- Ta có vectơ pháp tuyến và điểm A nằm trên mặt phẳng.
- Thay vào phương trình mặt phẳng:
Chia cả hai vế cho 6 để đơn giản hóa phương trình:
Do đó, phương trình mặt phẳng (ABC) là:
Đáp án đúng là: A.~\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1