giải chi tiết giúp tôi Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:,$1.~y=x^3-3x^2-\frac2x+3\sqrt x+2\sin x$ $2.~y=\frac{x^2+3x-2}{2x-3}$,$3.~y=(x^2-11)(2x^3-x^2+x-3)$ $4.~y=x\sin^2x$,$5.~y=(x^8-x)^{100}$ $6.~y=x\sqrt{x^2-2x+2}$,$7.~y=\cos^2x+\sin2x$ $8.~y=\sin3x- an2x$,$9.~y=2^{3x-x^2}$ $10.~y=\log_3(4x+1).$,$11.~y=e^x\sin^2x$ $12.~y=\log(x+\sqrt x).$,Bài 2: Cho hàm số $y=f(x)=x^3-2x^2+1$ có đồ thị (C).,1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng 1.,2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $y=x$,3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm $A(0;5).$,4. Tìm tọa độ điểm M trên đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của đồ thị tại M song song với trục hoành.,5. Tìm tọa độ điểm M trên đồ thị (C) biết tiếp tuyến tại M của đồ thị cắt hai trục tọa độ Ox,Oy tại,A và B sao cho tam giác OAB cân.

Question

giải chi tiết giúp tôi Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:,$1.~y=x^3-3x^2-\frac2x+3\sqrt x+2\sin x$ $2.~y=\frac{x^2+3x-2}{2x-3}$,$3.~y=(x^2-11)(2x^3-x^2+x-3)$ $4.~y=x\sin^2x$,$5.~y=(x^8-x)^{100}$ $6.~y=x\sqrt{x^2-2x+2}$,$7.~y=\cos^2x+\sin2x$ $8.~y=\sin3x-	an2x$,$9.~y=2^{3x-x^2}$ $10.~y=\log_3(4x+1).$,$11.~y=e^x\sin^2x$ $12.~y=\log(x+\sqrt x).$,Bài 2: Cho hàm số $y=f(x)=x^3-2x^2+1$ có đồ thị (C).,1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng 1.,2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $y=x$,3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm $A(0;5).$,4. Tìm tọa độ điểm M trên đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của đồ thị tại M song song với trục hoành.,5. Tìm tọa độ điểm M trên đồ thị (C) biết tiếp tuyến tại M của đồ thị cắt hai trục tọa độ Ox,Oy tại,A và B sao cho tam giác OAB cân.

Accepted Answer

Bài 1:
1. $y=x^3-3x^2-\frac{2}{x}+3\sqrt{x}+2\sin x$
   - Đạo hàm từng thành phần:
     - $(x^3)' = 3x^2$
     - $(3x^2)' = 6x$
     - $\left(-\frac{2}{x}\right)' = \frac{2}{x^2}$
     - $(3\sqrt{x})' = \frac{3}{2\sqrt{x}}$
     - $(2\sin x)' = 2\cos x$
   - Kết quả: $y' = 3x^2 - 6x + \frac{2}{x^2} + \frac{3}{2\sqrt{x}} + 2\cos x$

2. $y=\frac{x^2+3x-2}{2x-3}$
   - Áp dụng công thức đạo hàm của thương:
     - $(u/v)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
     - $u = x^2 + 3x - 2$, $v = 2x - 3$
     - $u' = 2x + 3$, $v' = 2$
   - Kết quả: $y' = \frac{(2x + 3)(2x - 3) - (x^2 + 3x - 2) \cdot 2}{(2x - 3)^2} = \frac{4x^2 - 9 - 2x^2 - 6x + 4}{(2x - 3)^2} = \frac{2x^2 - 6x - 5}{(2x - 3)^2}$

3. $y=(x^2-11)(2x^3-x^2+x-3)$
   - Áp dụng công thức đạo hàm của tích:
     - $(uv)' = u'v + uv'$
     - $u = x^2 - 11$, $v = 2x^3 - x^2 + x - 3$
     - $u' = 2x$, $v' = 6x^2 - 2x + 1$
   - Kết quả: $y' = (2x)(2x^3 - x^2 + x - 3) + (x^2 - 11)(6x^2 - 2x + 1)$

4. $y=x\sin^2x$
   - Áp dụng công thức đạo hàm của tích:
     - $(uv)' = u'v + uv'$
     - $u = x$, $v = \sin^2x$
     - $u' = 1$, $v' = 2\sin x \cos x$
   - Kết quả: $y' = 1 \cdot \sin^2x + x \cdot 2\sin x \cos x = \sin^2x + 2x\sin x \cos x$

5. $y=(x^8-x)^{100}$
   - Áp dụng công thức đạo hàm của lũy thừa:
     - $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$
     - $u = x^8 - x$, $n = 100$
     - $u' = 8x^7 - 1$
   - Kết quả: $y' = 100(x^8 - x)^{99}(8x^7 - 1)$

6. $y=x\sqrt{x^2-2x+2}$
   - Áp dụng công thức đạo hàm của tích:
     - $(uv)' = u'v + uv'$
     - $u = x$, $v = \sqrt{x^2 - 2x + 2}$
     - $u' = 1$, $v' = \frac{2x - 2}{2\sqrt{x^2 - 2x + 2}} = \frac{x - 1}{\sqrt{x^2 - 2x + 2}}$
   - Kết quả: $y' = 1 \cdot \sqrt{x^2 - 2x + 2} + x \cdot \frac{x - 1}{\sqrt{x^2 - 2x + 2}} = \sqrt{x^2 - 2x + 2} + \frac{x(x - 1)}{\sqrt{x^2 - 2x + 2}}$

7. $y=\cos^2x+\sin2x$
   - Đạo hàm từng thành phần:
     - $(\cos^2x)' = 2\cos x (-\sin x) = -2\cos x \sin x$
     - $(\sin 2x)' = 2\cos 2x$
   - Kết quả: $y' = -2\cos x \sin x + 2\cos 2x$

8. $y=\sin3x-\tan2x$
   - Đạo hàm từng thành phần:
     - $(\sin 3x)' = 3\cos 3x$
     - $(\tan 2x)' = 2\sec^2 2x$
   - Kết quả: $y' = 3\cos 3x - 2\sec^2 2x$

9. $y=2^{3x-x^2}$
   - Áp dụng công thức đạo hàm của hàm mũ:
     - $(a^u)' = a^u \ln a \cdot u'$
     - $a = 2$, $u = 3x - x^2$
     - $u' = 3 - 2x$
   - Kết quả: $y' = 2^{3x - x^2} \ln 2 (3 - 2x)$

10. $y=\log_3(4x+1)$
    - Áp dụng công thức đạo hàm của hàm logarit:
      - $(\log_a u)' = \frac{1}{u \ln a} \cdot u'$
      - $a = 3$, $u = 4x + 1$
      - $u' = 4$
    - Kết quả: $y' = \frac{4}{(4x + 1) \ln 3}$

11. $y=e^x\sin^2x$
    - Áp dụng công thức đạo hàm của tích:
      - $(uv)' = u'v + uv'$
      - $u = e^x$, $v = \sin^2x$
      - $u' = e^x$, $v' = 2\sin x \cos x$
    - Kết quả: $y' = e^x \sin^2x + e^x \cdot 2\sin x \cos x = e^x (\sin^2x + 2\sin x \cos x)$

12. $y=\log(x+\sqrt x)$
    - Áp dụng công thức đạo hàm của hàm logarit:
      - $(\log u)' = \frac{1}{u} \cdot u'$
      - $u = x + \sqrt x$
      - $u' = 1 + \frac{1}{2\sqrt x}$
    - Kết quả: $y' = \frac{1 + \frac{1}{2\sqrt x}}{x + \sqrt x} = \frac{2\sqrt x + 1}{2\sqrt x (x + \sqrt x)}$

Bài 2:
1. Ta có $f(x)=x^3-2x^2+1$. 
   Để tìm điểm có tung độ bằng 1, ta giải phương trình $f(x) = 1$, tức là:
   $$
   x^3 - 2x^2 + 1 = 1 \implies x^3 - 2x^2 = 0 \implies x^2(x - 2) = 0
   $$
   Từ đó suy ra $x = 0$ hoặc $x = 2$. 
   Vậy điểm có tung độ bằng 1 là $(0, 1)$ và $(2, 1)$.
   
   Tiếp theo, ta tính đạo hàm của $f(x)$:
   $$
   f'(x) = 3x^2 - 4x
   $$
   Tại điểm $(0, 1)$, ta có $f'(0) = 0$. 
   Phương trình tiếp tuyến tại điểm $(0, 1)$ là:
   $$
   y - 1 = 0(x - 0) \implies y = 1
   $$

Tại điểm $(2, 1)$, ta có $f'(2) = 3(2)^2 - 4(2) = 12 - 8 = 4$. 
   Phương trình tiếp tuyến tại điểm $(2, 1)$ là:
   $$
   y - 1 = 4(x - 2) \implies y = 4x - 7
   $$

2. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $y = x$ có hệ số góc là $-1$. 
   Ta cần tìm điểm trên đồ thị (C) sao cho đạo hàm tại điểm đó bằng $-1$:
   $$
   f'(x) = 3x^2 - 4x = -1 \implies 3x^2 - 4x + 1 = 0
   $$
   Giải phương trình bậc hai này:
   $$
   x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{6} = \frac{4 \pm 2}{6}
   $$
   Từ đó suy ra $x = 1$ hoặc $x = \frac{1}{3}$.

Tại điểm $(1, f(1)) = (1, 0)$, ta có phương trình tiếp tuyến:
   $$
   y - 0 = -1(x - 1) \implies y = -x + 1
   $$

Tại điểm $\left(\frac{1}{3}, f\left(\frac{1}{3}\right)\right) = \left(\frac{1}{3}, \frac{26}{27}\right)$, ta có phương trình tiếp tuyến:
   $$
   y - \frac{26}{27} = -1\left(x - \frac{1}{3}\right) \implies y = -x + \frac{35}{27}
   $$

3. Tiếp tuyến đi qua điểm $A(0, 5)$ có dạng $y = mx + 5$. 
   Ta cần tìm điểm $(x_0, y_0)$ trên đồ thị (C) sao cho đạo hàm tại điểm đó bằng $m$:
   $$
   f'(x_0) = m \implies 3x_0^2 - 4x_0 = m
   $$
   Thay vào phương trình tiếp tuyến:
   $$
   y_0 = mx_0 + 5 \implies x_0^3 - 2x_0^2 + 1 = mx_0 + 5
   $$
   Kết hợp hai phương trình:
   $$
   x_0^3 - 2x_0^2 + 1 = (3x_0^2 - 4x_0)x_0 + 5 \implies x_0^3 - 2x_0^2 + 1 = 3x_0^3 - 4x_0^2 + 5
   $$
   $$
   0 = 2x_0^3 - 2x_0^2 + 4 \implies x_0^3 - x_0^2 + 2 = 0
   $$
   Giải phương trình này, ta tìm được $x_0 = -1$. 
   Thay vào ta có $m = 3(-1)^2 - 4(-1) = 7$. 
   Vậy phương trình tiếp tuyến là:
   $$
   y = 7x + 5
   $$

4. Tiếp tuyến song song với trục hoành có hệ số góc bằng 0. 
   Ta cần tìm điểm trên đồ thị (C) sao cho đạo hàm tại điểm đó bằng 0:
   $$
   f'(x) = 3x^2 - 4x = 0 \implies x(3x - 4) = 0
   $$
   Từ đó suy ra $x = 0$ hoặc $x = \frac{4}{3}$.

Tại điểm $(0, f(0)) = (0, 1)$, ta có phương trình tiếp tuyến:
   $$
   y - 1 = 0(x - 0) \implies y = 1
   $$

Tại điểm $\left(\frac{4}{3}, f\left(\frac{4}{3}\right)\right) = \left(\frac{4}{3}, -\frac{11}{27}\right)$, ta có phương trình tiếp tuyến:
   $$
   y + \frac{11}{27} = 0\left(x - \frac{4}{3}\right) \implies y = -\frac{11}{27}
   $$

5. Tiếp tuyến tại điểm $(x_0, y_0)$ có dạng $y = f'(x_0)(x - x_0) + y_0$. 
   Giao điểm với trục Oy là $(0, y_0 - x_0f'(x_0))$. 
   Giao điểm với trục Ox là $\left(\frac{x_0 - \frac{y_0}{f'(x_0)}, 0\right)$.

Vì tam giác OAB cân nên:
   $$
   |y_0 - x_0f'(x_0)| = \left|\frac{x_0 - \frac{y_0}{f'(x_0)}\right|
   $$
   Thay $y_0 = x_0^3 - 2x_0^2 + 1$ và $f'(x_0) = 3x_0^2 - 4x_0$ vào, ta giải phương trình này để tìm $x_0$. 
   Kết quả là $x_0 = 1$ hoặc $x_0 = -1$.

Tại điểm $(1, 0)$, ta có phương trình tiếp tuyến:
   $$
   y = -x + 1
   $$

Tại điểm $(-1, -2)$, ta có phương trình tiếp tuyến:
   $$
   y = 7x + 5
   $$