Cho a,b,c > 0 thay đổi thoả mãn a + b + c = 1. C/m 9 ( a^4 + b^4 + c^4 ) > a^2 + b^2 + c^2

Để chứng minh rằng $$ với điều kiện $$ và $$, ta sẽ sử dụng phương pháp biến đổi và bất đẳng thức. Bước 1: Ta xét biểu thức $$. Theo bất đẳng thức AM-GM (trung bình cộng lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân), ta có: $$ Bước 2: Ta cần chứng minh rằng $$. Để làm điều này, ta sẽ biến đổi biểu thức $$ và so sánh nó với $$. Bước 3: Ta biết rằng $$. Do đó, theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có: $$ Bước 4: Ta cũng biết rằng $$ (theo bất đẳng thức Jensen cho hàm lõm $$). Do đó: $$ Bước 5: Vì $$, ta có: $$ Bước 6: Kết hợp các kết quả trên, ta có: $$ Do đó, ta đã chứng minh được rằng: $$ Điều này hoàn tất chứng minh.