Một vật được ném lên cao với vận tốc ban đầu v0. Xác định độ cao cực đại đạt được của vật và thời gian vật ở độ cao đó, biết rằng vật chịu tác dụng của trọng lực và lực cản của không khí.

Question

Accepted Answer

Xét bài toán vật ném lên cao với vận tốc ban đầu $v_0$, chịu tác dụng của trọng lực và lực cản không khí.

**Giả thiết:**
- Trọng lực $mg$ hướng xuống.
- Lực cản không khí có thể coi là tỉ lệ thuận với vận tốc: $F_c = -kv$ (với $k > 0$), hướng ngược chiều chuyển động.
- Gốc tọa độ chọn tại mặt đất, chiều dương hướng lên.

---

### 1. Viết phương trình chuyển động

Phương trình động học theo chiều dọc:

$$
m \frac{dv}{dt} = -mg - kv
$$

hay

$$
\frac{dv}{dt} = -g - \frac{k}{m} v
$$

---

### 2. Giải phương trình vi phân

Đây là phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất:

$$
\frac{dv}{dt} + \frac{k}{m} v = -g
$$

Hệ số tích hợp:

$$
\mu(t) = e^{\int \frac{k}{m} dt} = e^{\frac{k}{m} t}
$$

Nhân cả hai vế với $\mu(t)$:

$$
e^{\frac{k}{m} t} \frac{dv}{dt} + \frac{k}{m} e^{\frac{k}{m} t} v = -g e^{\frac{k}{m} t}
$$

$$
\frac{d}{dt} \left( v e^{\frac{k}{m} t} \right) = -g e^{\frac{k}{m} t}
$$

Tích phân hai vế:

$$
v e^{\frac{k}{m} t} = -g \int e^{\frac{k}{m} t} dt + C
$$

$$
v e^{\frac{k}{m} t} = -g \cdot \frac{m}{k} e^{\frac{k}{m} t} + C
$$

Chia hai vế cho $e^{\frac{k}{m} t}$:

$$
v = -\frac{mg}{k} + C e^{-\frac{k}{m} t}
$$

Áp dụng điều kiện ban đầu tại $t=0: v(0) = v_0$:

$$
v_0 = -\frac{mg}{k} + C \Rightarrow C = v_0 + \frac{mg}{k}
$$

Vậy:

$$
v(t) = -\frac{mg}{k} + \left( v_0 + \frac{mg}{k} \right) e^{-\frac{k}{m} t}
$$

---

### 3. Tính thời gian đạt độ cao cực đại $t_h$

Độ cao cực đại xảy ra khi vận tốc bằng 0:

$$
v(t_h) = 0
$$

$$
0 = -\frac{mg}{k} + \left( v_0 + \frac{mg}{k} \right) e^{-\frac{k}{m} t_h}
$$

$$
\left( v_0 + \frac{mg}{k} \right) e^{-\frac{k}{m} t_h} = \frac{mg}{k}
$$

$$
e^{-\frac{k}{m} t_h} = \frac{\frac{mg}{k}}{v_0 + \frac{mg}{k}} = \frac{\frac{mg}{k}}{v_0 + \frac{mg}{k}} = \frac{mg/k}{v_0 + mg/k}
$$

Lấy logarit:

$$
-\frac{k}{m} t_h = \ln \left( \frac{mg/k}{v_0 + mg/k} \right)
$$

$$
t_h = -\frac{m}{k} \ln \left( \frac{mg/k}{v_0 + mg/k} \right) = \frac{m}{k} \ln \left( 1 + \frac{k}{mg} v_0 \right)
$$

---

### 4. Tính độ cao cực đại $H$

Vận tốc là đạo hàm của vị trí $y(t)$:

$$
v(t) = \frac{dy}{dt}
$$

Tích phân vận tốc để tìm vị trí:

$$
y(t) = \int_0^t v(t') dt' + y(0)
$$

Giả sử $y(0) = 0$, vậy

$$
y(t) = \int_0^t \left[ -\frac{mg}{k} + \left( v_0 + \frac{mg}{k} \right) e^{-\frac{k}{m} t'} \right] dt'
$$

$$
= \int_0^t -\frac{mg}{k} dt' + \left( v_0 + \frac{mg}{k} \right) \int_0^t e^{-\frac{k}{m} t'} dt'
$$

Tính từng tích phân:

$$
\int_0^t -\frac{mg}{k} dt' = -\frac{mg}{k} t
$$

$$
\int_0^t e^{-\frac{k}{m} t'} dt' = \left[ -\frac{m}{k} e^{-\frac{k}{m} t'} \right]_0^t = -\frac{m}{k} e^{-\frac{k}{m} t} + \frac{m}{k}
$$

Vậy:

$$
y(t) = -\frac{mg}{k} t + \left( v_0 + \frac{mg}{k} \right) \left( -\frac{m}{k} e^{-\frac{k}{m} t} + \frac{m}{k} \right)
$$

$$
= -\frac{mg}{k} t + \left( v_0 + \frac{mg}{k} \right) \frac{m}{k} \left( 1 - e^{-\frac{k}{m} t} \right)
$$

---

Tính độ cao cực đại $H = y(t_h)$:

$$
H = -\frac{mg}{k} t_h + \left( v_0 + \frac{mg}{k} \right) \frac{m}{k} \left( 1 - e^{-\frac{k}{m} t_h} \right)
$$

Áp dụng giá trị $t_h$ và $e^{-\frac{k}{m} t_h}$ đã tính:

$$
e^{-\frac{k}{m} t_h} = \frac{mg/k}{v_0 + mg/k}
$$

Thay vào:

$$
1 - e^{-\frac{k}{m} t_h} = 1 - \frac{mg/k}{v_0 + mg/k} = \frac{v_0}{v_0 + mg/k}
$$

Vậy:

$$
H = -\frac{mg}{k} t_h + \left( v_0 + \frac{mg}{k} \right) \frac{m}{k} \cdot \frac{v_0}{v_0 + mg/k} = -\frac{mg}{k} t_h + \frac{m}{k} v_0
$$

Nhớ lại biểu thức $t_h$:

$$
t_h = \frac{m}{k} \ln \left(1 + \frac{k}{mg} v_0 \right)
$$

Thay lại:

$$
H = -\frac{mg}{k} \cdot \frac{m}{k} \ln \left(1 + \frac{k}{mg} v_0 \right) + \frac{m}{k} v_0 = \frac{m}{k} v_0 - \frac{m^2 g}{k^2} \ln \left( 1 + \frac{k}{mg} v_0 \right)
$$

---

### **Kết luận:**

- Thời gian vật đạt độ cao cực đại:

$$
\boxed{
t_h = \frac{m}{k} \ln \left( 1 + \frac{k}{mg} v_0 \right)
}
$$

- Độ cao cực đại:

$$
\boxed{
H = \frac{m}{k} v_0 - \frac{m^2 g}{k^2} \ln \left( 1 + \frac{k}{mg} v_0 \right)
}
$$

---

### **Giải thích:**

- Nếu không có lực cản, tức $k \to 0$, ta có thể lấy giới hạn:

$$
\lim_{k \to 0} t_h = \frac{v_0}{g}
$$

và

$$
\lim_{k \to 0} H = \frac{v_0^2}{2g}
$$

trùng với kết quả vật lý quen thuộc khi không có lực cản.

---

Nếu bạn cần hướng dẫn chi tiết hơn hoặc bài tập tương tự, cứ hỏi nhé!