cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB=a , AD=b , AA'=c. gọi M là một điểm trên cạnh CC' sao cho CM=k.C'M (k0) . tính thể tích khối tứ diện BDMA'
Giúp mình với!

Question

cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB=a , AD=b , AA'=c. gọi M là một điểm trên cạnh CC' sao cho CM=k.C'M (k>0) . tính thể tích khối tứ diện BDMA'
Giúp mình với!

Accepted Answer

Để tính thể tích khối tứ diện BDMA', ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D':
   Thể tích của hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' là:
   $$
   V_{ABCD.A'B'C'D'} = AB \times AD \times AA' = a \times b \times c
   $$

2. Tìm thể tích khối chóp A'.BDM:
   Ta chia khối hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' thành các khối chóp có đỉnh chung là A' và đáy là các mặt của hình hộp chữ nhật. Cụ thể, ta có thể chia khối hộp thành 6 khối chóp:
   - A'.ABD
   - A'.BCD
   - A'.CDA
   - A'.DAB
   - A'.BMC
   - A'.CMD

Mỗi khối chóp này có thể tích bằng $\frac{1}{6}$ thể tích của khối hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D':
   $$
   V_{A'.ABD} = V_{A'.BCD} = V_{A'.CDA} = V_{A'.DAB} = V_{A'.BMC} = V_{A'.CMD} = \frac{1}{6} \times a \times b \times c
   $$

3. Tính thể tích khối chóp A'.BMC:
   Vì M nằm trên cạnh CC' và CM = k.C'M, nên ta có thể tính thể tích khối chóp A'.BMC dựa trên tỉ lệ này. Thể tích khối chóp A'.BMC là:
   $$
   V_{A'.BMC} = \frac{k}{k+1} \times V_{A'.BCD} = \frac{k}{k+1} \times \frac{1}{6} \times a \times b \times c
   $$

4. Tính thể tích khối chóp A'.CMD:
   Tương tự, thể tích khối chóp A'.CMD là:
   $$
   V_{A'.CMD} = \frac{1}{k+1} \times V_{A'.BCD} = \frac{1}{k+1} \times \frac{1}{6} \times a \times b \times c
   $$

5. Tính thể tích khối chóp A'.BDM:
   Thể tích khối chóp A'.BDM là tổng của thể tích khối chóp A'.BMC và A'.CMD:
   $$
   V_{A'.BDM} = V_{A'.BMC} + V_{A'.CMD} = \left( \frac{k}{k+1} + \frac{1}{k+1} \right) \times \frac{1}{6} \times a \times b \times c = \frac{1}{6} \times a \times b \times c
   $$

6. Tính thể tích khối tứ diện BDMA':
   Thể tích khối tứ diện BDMA' là thể tích của khối hộp chữ nhật trừ đi thể tích của các khối chóp còn lại:
   $$
   V_{BDMA'} = V_{ABCD.A'B'C'D'} - V_{A'.ABD} - V_{A'.BCD} - V_{A'.CDA} - V_{A'.DAB} - V_{A'.BDM}
   $$
   $$
   V_{BDMA'} = a \times b \times c - 5 \times \frac{1}{6} \times a \times b \times c - \frac{1}{6} \times a \times b \times c
   $$
   $$
   V_{BDMA'} = a \times b \times c - \frac{5}{6} \times a \times b \times c - \frac{1}{6} \times a \times b \times c
   $$
   $$
   V_{BDMA'} = a \times b \times c - \frac{6}{6} \times a \times b \times c
   $$
   $$
   V_{BDMA'} = \frac{1}{6} \times a \times b \times c
   $$

Vậy thể tích khối tứ diện BDMA' là:
$$
V_{BDMA'} = \frac{1}{6} \times a \times b \times c
$$

cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB=a , AD=b , AA'=c. gọi M là một điểm trên cạnh CC' sao cho CM=k.C'M (k>0) . tính thể tích khối tứ diện BDMA' Giúp mình với!