Câu 8:
Để giải quyết câu hỏi về vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và thể tích của khối tròn xoay, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết.
Phần 1: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)
Giả sử phương trình của mặt phẳng (P) là:
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là:
Trong các lựa chọn đã cho:
- A.
- B.
- C.
- D.
Ta thấy rằng các lựa chọn này đều có thể là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) tùy thuộc vào phương trình cụ thể của mặt phẳng đó. Tuy nhiên, không có thông tin thêm về phương trình của mặt phẳng (P) trong câu hỏi, nên chúng ta không thể xác định chính xác vectơ pháp tuyến là lựa chọn nào. Chúng ta cần thêm thông tin về phương trình của mặt phẳng để xác định chính xác.
Phần 2: Tính thể tích của khối tròn xoay
Giả sử hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng và đồ thị của hàm số .
Thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng này quanh trục từ đến được tính bằng công thức:
Vì không có thông tin cụ thể về hàm số và khoảng , chúng ta không thể tính toán thể tích chính xác. Chúng ta cần biết thêm thông tin về hàm số và khoảng để thực hiện phép tính này.
Kết luận
Do thiếu thông tin cụ thể về phương trình của mặt phẳng (P) và hàm số , chúng ta không thể xác định chính xác vectơ pháp tuyến và thể tích của khối tròn xoay. Cần thêm thông tin để giải quyết hoàn chỉnh câu hỏi này.
Câu 9:
Để tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi và trục hoành quanh trục Ox, ta thực hiện các bước sau:
1. Xác định khoảng giới hạn:
- Phương trình cắt trục hoành tại điểm .
- Để xác định khoảng giới hạn, ta cần biết thêm thông tin về khoảng mà hình phẳng được giới hạn. Giả sử hình phẳng được giới hạn từ đến .
2. Áp dụng công thức thể tích khối tròn xoay:
- Công thức thể tích khối tròn xoay khi quay một hình phẳng giới hạn bởi và trục hoành quanh trục Ox từ đến là:
- Trong trường hợp này, , do đó:
3. Tính tích phân:
- Tính tích phân :
4. Tính thể tích khối tròn xoay:
- Thay kết quả tích phân vào công thức thể tích:
5. Xác định giá trị của :
- Để xác định giá trị của , ta cần biết thêm thông tin về khoảng giới hạn của hình phẳng. Giả sử (vì đây là một giá trị thường gặp trong các bài toán kiểu này).
6. Thay giá trị vào công thức thể tích:
- Ta có:
Vậy thể tích khối tròn xoay là .
Đáp án đúng là: .
Câu 10:
Để tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
1. Tính trung bình cộng của mẫu số liệu.
2. Tính phương sai của mẫu số liệu.
3. Tính độ lệch chuẩn từ phương sai.
Bước 1: Tính trung bình cộng của mẫu số liệu
Trung bình cộng được tính theo công thức:
Trong đó:
- là tần số của nhóm thứ i.
- là giá trị trung tâm của nhóm thứ i.
Ta có bảng phân bố tần số như sau:
| Mức xà (cm) | Số vận động viên (fi) | Giá trị trung tâm (xi) | fi xi |
|-------------|-----------------------|------------------------|---------|
| [170;172) | 7 | 171 | 1197 |
| [172;174) | 11 | 173 | 1903 |
| [174;176) | 3 | 175 | 525 |
| [176;180) | 1 | 178 | 178 |
Tổng số vận động viên:
Tổng :
Trung bình cộng:
Bước 2: Tính phương sai của mẫu số liệu
Phương sai được tính theo công thức:
Ta tính và :
| Mức xà (cm) | Số vận động viên (fi) | Giá trị trung tâm (xi) | xi - x̄ | (xi - x̄)^2 | fi (xi - x̄)^2 |
|-------------|-----------------------|------------------------|--------|------------|------------------|
| [170;172) | 7 | 171 | -1,86 | 3,4596 | 24,2172 |
| [172;174) | 11 | 173 | 0,14 | 0,0196 | 0,2156 |
| [174;176) | 3 | 175 | 2,14 | 4,5796 | 13,7388 |
| [176;180) | 1 | 178 | 5,14 | 26,4196 | 26,4196 |
Tổng :
Phương sai:
Bước 3: Tính độ lệch chuẩn từ phương sai
Độ lệch chuẩn được tính theo công thức:
Vậy độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đã cho là khoảng 1,71.
Do đó, đáp án đúng là:
A. 1,81.
Câu 11:
Để tìm góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD), ta thực hiện các bước sau:
1. Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa đường thẳng SA và hình chiếu của nó lên mặt phẳng (ABCD). Hình chiếu của SA lên (ABCD) là đoạn thẳng từ A đến giao điểm của SA với (ABCD).
2. Tìm hình chiếu của SA lên (ABCD):
Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), nên hình chiếu của SA lên (ABCD) là điểm A.
3. Xác định góc giữa SA và (ABCD):
Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SA và đoạn thẳng từ A đến giao điểm của SA với (ABCD). Trong trường hợp này, giao điểm của SA với (ABCD) là điểm A, do đó góc giữa SA và (ABCD) là góc giữa SA và đoạn thẳng từ A đến A, tức là góc giữa SA và chính nó.
4. Tính góc:
Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc giữa SA và (ABCD) là 90°.
Do đó, góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) là 90°.
Đáp án đúng là: D. 90°.
Câu 12:
Để tính xác suất để bạn An được chọn vào đội tuyển này, ta cần tính xác suất để An qua được cả hai vòng thi.
Bước 1: Tính xác suất để An qua được vòng thứ nhất.
Xác suất để An qua được vòng thứ nhất là 0,8.
Bước 2: Tính xác suất để An qua được vòng thứ hai, giả sử An đã qua được vòng thứ nhất.
Xác suất để An qua được vòng thứ hai là 0,77.
Bước 3: Tính xác suất để An qua được cả hai vòng thi.
Xác suất để An qua được cả hai vòng thi là tích của xác suất qua được vòng thứ nhất và xác suất qua được vòng thứ hai:
Vậy xác suất để bạn An được chọn vào đội tuyển này là 0,616.
Đáp án đúng là: D. 0,616.
Câu 1:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
Bước 1: Xác định các đại lượng liên quan
- Diện tích trang sách:
- Chiều rộng của trang sách:
- Chiều dài của trang sách:
Bước 2: Xác định diện tích phần in chữ
Phần in chữ có chiều rộng là (vì mỗi bên lề trái và lề phải đều để 2 cm) và chiều dài là (vì mỗi bên lề trên và lề dưới đều để 3 cm).
Diện tích phần in chữ:
Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất của diện tích phần in chữ
Để tìm giá trị lớn nhất của diện tích phần in chữ, chúng ta sẽ tính đạo hàm của theo và tìm điểm cực đại.
Tính đạo hàm:
Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực đại:
Bước 4: Tính diện tích phần in chữ khi
Bước 5: Tính diện tích phần lề để trống
Diện tích phần lề để trống:
Kết luận
- Chiều dài của trang sách khi đó là .
- Phần in chữ của trang sách có diện tích lớn nhất khi .
- Phần in chữ của trang sách có diện tích lớn nhất là .
- Phần diện tích lề để trống là .
Do đó, các đáp án đúng là:
a) Chiều dài của trang sách khi đó là .
b) Phần in chữ của trang sách có diện tích lớn nhất khi .
c) Phần in chữ của trang sách có diện tích lớn nhất là .
d) Phần diện tích lề để trống là .