Câu 45.
Phương trình chính tắc của elip có dạng , trong đó và là các hằng số dương.
Ta sẽ kiểm tra từng phương trình để xác định phương trình nào đúng:
A.
- Đây là phương trình có dạng với và . Do đó, và . Phương trình này đúng với dạng chính tắc của elip.
B.
- Đây là phương trình có dạng , nhưng đây là phương trình của hypebol, không phải elip.
C.
- Đây là phương trình đường thẳng, không phải phương trình của elip.
D.
- Đây là phương trình có dạng với và . Do đó, . Phương trình này đúng với dạng chính tắc của elip, nhưng nó đặc biệt là phương trình của một đường tròn bán kính 3.
Từ các phân tích trên, ta thấy rằng phương trình là phương trình chính tắc của elip.
Vậy đáp án đúng là:
A. .
Câu 46.
Trước tiên, ta cần hiểu rằng trọng tâm của một tam giác là điểm giao của ba đường trung tuyến của tam giác đó. Trọng tâm chia mỗi đường trung tuyến thành hai đoạn tỉ lệ 2:1, tính từ đỉnh đến trọng tâm.
1. Xác định vị trí của M và N:
- M là trọng tâm của tam giác ABD, do đó M nằm trên đường trung tuyến từ đỉnh A đến trung điểm của BD.
- N là trọng tâm của tam giác ACD, do đó N nằm trên đường trung tuyến từ đỉnh A đến trung điểm của CD.
2. Tìm mối liên hệ giữa MN và AD:
- Vì M và N đều là trọng tâm của các tam giác tương ứng, nên MN sẽ song song với AD. Điều này là do MN nằm trong mặt phẳng (ABD) và (ACD), và cả hai mặt phẳng này đều chứa AD.
3. Kiểm tra các mệnh đề:
- Mệnh đề A: . Đúng vì MN nằm trong mặt phẳng (ABD) và (ACD) và song song với AD.
- Mệnh đề B: . Đúng vì MN nằm trong mặt phẳng (ABD) và (ACD), và cả hai mặt phẳng này đều chứa (ABC).
- Mệnh đề C: . Đúng vì MN nằm trong mặt phẳng (ABD) và (ACD), và cả hai mặt phẳng này đều chứa (DBC).
- Mệnh đề D: . Sai vì MN chỉ là đoạn thẳng nối hai trọng tâm của hai tam giác, không liên quan trực tiếp đến độ dài của BC.
Do đó, mệnh đề sai là:
Câu 47.
Để tìm giá trị biểu thức , ta cần xác định tọa độ của điểm , là chân đường phân giác trong của góc trong tam giác .
Bước 1: Xác định tỉ số
- Tính khoảng cách :
- Tính khoảng cách :
- Tỉ số :
Bước 2: Tìm tọa độ của điểm
Theo tính chất đường phân giác trong tam giác, điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số .
- Tọa độ của điểm là
- Tọa độ của điểm là
Áp dụng công thức tọa độ của điểm chia một đoạn thẳng theo tỉ số :
Ở đây, :
Bước 3: Tính giá trị biểu thức
-
-
Vậy giá trị biểu thức là 4.
Đáp án đúng là: A. 4.
Câu 48.
Để tìm phương trình đường cao của tam giác , ta thực hiện các bước sau:
1. Tìm phương trình đường thẳng :
- Vector .
- Phương trình tham số của đường thẳng là:
- Chuyển đổi sang dạng đại số:
2. Tìm phương trình đường cao :
- Đường cao vuông góc với , do đó nó có hệ số góc là (vì hệ số góc của là ).
- Phương trình đường thẳng đi qua điểm với hệ số góc là:
3. So sánh với phương trình :
- Ta thấy rằng , , và .
4. Tính giá trị biểu thức :
Vậy giá trị của biểu thức là .
Đáp án đúng là: B. -6.
Câu 49.
Trước tiên, ta nhận thấy rằng G là trung điểm của đoạn thẳng MN, do đó G nằm trên đường thẳng AG và cắt mặt phẳng (BCD) tại điểm E.
Ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác đồng dạng để giải quyết bài toán này.
Xét tam giác AMN và tam giác ACD:
- M là trung điểm của AB nên AM = MB.
- N là trung điểm của CD nên CN = ND.
- G là trung điểm của MN nên MG = GN.
Do đó, tam giác AMN đồng dạng với tam giác ACD theo tỉ số (vì M và N là trung điểm của AB và CD).
Khi đó, ta có:
Từ đây, ta suy ra:
Vậy mệnh đề đúng là:
Đáp án: A. .
Câu 50.
Để tính diện tích thiết diện của mặt phẳng với hình chóp S.ABCD, ta thực hiện các bước sau:
1. Xác định vị trí của điểm M trên cạnh SA:
- Ta biết rằng . Điều này có nghĩa là điểm M chia đoạn thẳng SA thành tỉ lệ và .
2. Xác định thiết diện của mặt phẳng :
- Mặt phẳng đi qua M và song song với AB và AD. Do đó, thiết diện của với hình chóp S.ABCD sẽ là một hình vuông nhỏ hơn, nằm trong mặt phẳng và song song với đáy ABCD.
3. Tính tỉ lệ giữa thiết diện và đáy ABCD:
- Vì song song với đáy ABCD và đi qua M, nên thiết diện này sẽ có cùng dạng hình vuông với đáy ABCD nhưng có kích thước nhỏ hơn theo tỉ lệ (do M chia SA thành tỉ lệ ).
4. Tính diện tích thiết diện:
- Diện tích đáy ABCD là .
- Diện tích thiết diện sẽ là diện tích đáy ABCD nhân với bình phương của tỉ lệ .
- Vậy diện tích thiết diện là .
Do đó, diện tích thiết diện của mặt phẳng với hình chóp S.ABCD là 1.
Đáp án đúng là: B. 1.