Câu 3:
a) Số cách lấy ra 6 cuốn sách và tặng cho 6 học sinh là
b) Số cách lấy ra 6 cuốn sách chỉ có hai trong ba loại sách Toán, Vật lí, Hóa học là
c) Số cách lấy ra 6 cuốn sách sao cho mỗi loại sách Toán, Vật lí, Hóa học đều còn lại ít nhất một cuốn là
d) Xác suất để sau khi tặng xong, mỗi loại sách đều còn lại ít nhất một cuốn là
Lập luận từng bước:
a) Số cách lấy ra 6 cuốn sách và tặng cho 6 học sinh là
- Ta có 12 cuốn sách đôi một khác nhau.
- Số cách chọn 6 cuốn sách từ 12 cuốn là .
- Sau khi chọn 6 cuốn sách, ta có thể sắp xếp chúng theo thứ tự để tặng cho 6 học sinh, do đó số cách sắp xếp là .
- Vậy tổng số cách lấy ra 6 cuốn sách và tặng cho 6 học sinh là .
b) Số cách lấy ra 6 cuốn sách chỉ có hai trong ba loại sách Toán, Vật lí, Hóa học là
- Ta xét các trường hợp:
- Trường hợp 1: Chọn 6 cuốn sách từ 7 cuốn sách Toán và Vật lí (không có sách Hóa học): .
- Trường hợp 2: Chọn 6 cuốn sách từ 8 cuốn sách Toán và Hóa học (không có sách Vật lí): .
- Trường hợp 3: Chọn 6 cuốn sách từ 9 cuốn sách Vật lí và Hóa học (không có sách Toán): .
- Tổng số cách là .
c) Số cách lấy ra 6 cuốn sách sao cho mỗi loại sách Toán, Vật lí, Hóa học đều còn lại ít nhất một cuốn là
- Ta đã tính tổng số cách lấy ra 6 cuốn sách và tặng cho 6 học sinh là .
- Số cách lấy ra 6 cuốn sách chỉ có hai trong ba loại sách Toán, Vật lí, Hóa học là .
- Vậy số cách lấy ra 6 cuốn sách sao cho mỗi loại sách Toán, Vật lí, Hóa học đều còn lại ít nhất một cuốn là .
d) Xác suất để sau khi tặng xong, mỗi loại sách đều còn lại ít nhất một cuốn là
- Số cách lấy ra 6 cuốn sách sao cho mỗi loại sách Toán, Vật lí, Hóa học đều còn lại ít nhất một cuốn là .
- Tổng số cách lấy ra 6 cuốn sách từ 12 cuốn là .
- Xác suất là .
Câu 4:
a) Khoảng cách từ chiếc tàu thám hiểm đến radar bằng 25 km.
- Tàu thám hiểm tại vị trí A có tọa độ .
- Biết rằng tàu thám hiểm cách O 25 km về phía nam và 15 km về phía tây, ta có:
- (vì về phía tây)
- (vì về phía nam)
- (vì ở độ sâu 10 km)
- Khoảng cách từ A đến O là:
Do đó, khoảng cách từ chiếc tàu thám hiểm đến radar không bằng 25 km.
b) Radar không phát hiện được tàu thám hiểm đặt tại vị trí A.
- Như đã tính ở trên, khoảng cách từ A đến O là km, lớn hơn phạm vi theo dõi của radar là 30 km.
Do đó, radar không phát hiện được tàu thám hiểm đặt tại vị trí A.
c) Radar phát hiện ra tàu đánh cá tại vị trí B.
- Tàu đánh cá tại vị trí B có tọa độ .
- Khoảng cách từ B đến O là:
Do đó, radar phát hiện ra tàu đánh cá tại vị trí B.
d) Một chiếc tàu của cảnh sát biển đang tuần tra di chuyển đến vị trí C cách O 15 km về phía nam. Để radar phát hiện ra thì tàu cảnh sát biển cần di chuyển về phía đông cách O tối đa
- Tàu cảnh sát biển tại vị trí C có tọa độ .
- Biết rằng tàu cảnh sát biển cách O 15 km về phía nam, ta có:
- (vì về phía nam)
- (vì trên mặt biển)
- Để radar phát hiện ra, khoảng cách từ C đến O phải nhỏ hơn hoặc bằng 30 km:
Do đó, tàu cảnh sát biển cần di chuyển về phía đông cách O tối đa
Đáp án:
a) Khoảng cách từ chiếc tàu thám hiểm đến radar không bằng 25 km.
b) Radar không phát hiện được tàu thám hiểm đặt tại vị trí A.
c) Radar phát hiện ra tàu đánh cá tại vị trí B.
d) Tàu cảnh sát biển cần di chuyển về phía đông cách O tối đa
Câu 1:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Xác định các điểm và đường thẳng liên quan.
2. Tìm góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBC).
3. Tính giá trị của sin góc đó.
Bước 1: Xác định các điểm và đường thẳng liên quan
- Hình chóp S.ABCD là hình chóp đều, do đó đáy ABCD là hình vuông.
- O là giao điểm của AC và BD, tức là O là tâm của hình vuông ABCD.
- SO là đường cao của hình chóp từ đỉnh S xuống đáy ABCD.
Bước 2: Tìm góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBC)
- Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống mặt phẳng (SBC). Ta có góc SAH là góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBC).
Bước 3: Tính giá trị của sin góc SAH
- Vì S.ABCD là hình chóp đều, nên SO vuông góc với đáy ABCD và SO = AB = 2.
- Ta có OA = .
- Trong tam giác SOA, ta tính SA bằng công thức Pythagoras:
- Trong tam giác SAH, ta có:
\sin(\angle SAH) = \frac{OH}{SA}
- Để tính OH, ta cần biết diện tích tam giác SBC và SBA. Diện tích tam giác SBC là:
[SBC] = \frac{1}{2} \times BC \times SO = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2
- Diện tích tam giác SBA cũng là 2 (vì SBA và SBC có cùng diện tích do S.ABCD là hình chóp đều).
- Diện tích tam giác SAB là:
[SAB] = \frac{1}{2} \times AB \times SO = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2
- Diện tích tam giác SAB cũng là 2.
Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác.
Câu 2:
Để tìm số lượng các số tự nhiên có 4 chữ số mà tổng tất cả các chữ số của số đó bằng 7, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp liệt kê và kiểm tra từng trường hợp.
Một số tự nhiên có 4 chữ số có dạng , trong đó là các chữ số từ 0 đến 9, và vì số đó phải có 4 chữ số.
Ta cần tìm các bộ số sao cho:
với điều kiện .
Chúng ta sẽ liệt kê các trường hợp:
1. :
-
- Các bộ số: (1, 0, 0, 6), (1, 0, 1, 5), (1, 0, 2, 4), (1, 0, 3, 3), (1, 0, 4, 2), (1, 0, 5, 1), (1, 0, 6, 0),
- (1, 1, 0, 5), (1, 1, 1, 4), (1, 1, 2, 3), (1, 1, 3, 2), (1, 1, 4, 1), (1, 1, 5, 0),
- (1, 2, 0, 4), (1, 2, 1, 3), (1, 2, 2, 2), (1, 2, 3, 1), (1, 2, 4, 0),
- (1, 3, 0, 3), (1, 3, 1, 2), (1, 3, 2, 1), (1, 3, 3, 0),
- (1, 4, 0, 2), (1, 4, 1, 1), (1, 4, 2, 0),
- (1, 5, 0, 1), (1, 5, 1, 0),
- (1, 6, 0, 0).
2. :
-
- Các bộ số: (2, 0, 0, 5), (2, 0, 1, 4), (2, 0, 2, 3), (2, 0, 3, 2), (2, 0, 4, 1), (2, 0, 5, 0),
- (2, 1, 0, 4), (2, 1, 1, 3), (2, 1, 2, 2), (2, 1, 3, 1), (2, 1, 4, 0),
- (2, 2, 0, 3), (2, 2, 1, 2), (2, 2, 2, 1), (2, 2, 3, 0),
- (2, 3, 0, 2), (2, 3, 1, 1), (2, 3, 2, 0),
- (2, 4, 0, 1), (2, 4, 1, 0),
- (2, 5, 0, 0).
3. :
-
- Các bộ số: (3, 0, 0, 4), (3, 0, 1, 3), (3, 0, 2, 2), (3, 0, 3, 1), (3, 0, 4, 0),
- (3, 1, 0, 3), (3, 1, 1, 2), (3, 1, 2, 1), (3, 1, 3, 0),
- (3, 2, 0, 2), (3, 2, 1, 1), (3, 2, 2, 0),
- (3, 3, 0, 1), (3, 3, 1, 0),
- (3, 4, 0, 0).
4. :
-
- Các bộ số: (4, 0, 0, 3), (4, 0, 1, 2), (4, 0, 2, 1), (4, 0, 3, 0),
- (4, 1, 0, 2), (4, 1, 1, 1), (4, 1, 2, 0),
- (4, 2, 0, 1), (4, 2, 1, 0),
- (4, 3, 0, 0).
5. :
-
- Các bộ số: (5, 0, 0, 2), (5, 0, 1, 1), (5, 0, 2, 0),
- (5, 1, 0, 1), (5, 1, 1, 0),
- (5, 2, 0, 0).
6. :
-
- Các bộ số: (6, 0, 0, 1), (6, 0, 1, 0),
- (6, 1, 0, 0).
7. :
-
- Các bộ số: (7, 0, 0, 0).
Tổng cộng có 84 bộ số thỏa mãn điều kiện trên. Do đó, có 84 số tự nhiên có 4 chữ số mà tổng tất cả các chữ số của số đó bằng 7.
Đáp án: 84.
Câu 3:
Lợi nhuận của doanh nghiệp là:
Để doanh nghiệp nhận được lợi nhuận lớn nhất, ta cần tìm giá trị của sao cho đạt giá trị lớn nhất.
Ta có:
Đặt :
Để đạt giá trị lớn nhất tại , ta cần kiểm tra điều kiện :
Do , nên ta có:
Tiếp theo, ta cần tìm giá trị của sao cho số tiền thuế phụ thu lớn nhất. Số tiền thuế phụ thu là:
Thay vào :
Để đạt giá trị lớn nhất, ta cần tìm đạo hàm của và đặt nó bằng 0:
Đặt :
Vậy giá trị của để nhà nước nhận được số tiền thuế phụ thu lớn nhất và doanh nghiệp cũng nhận được lợi nhuận lớn nhất theo mức thuế phụ thu đó là:
Đáp số: (nghìn đồng)