cho pt x^2-(m-2)x-6=0 với m là tham số
a)cm rằng với mọi giá trị của m pt luôn có 2 nghiệm pb
b) gọi x1 ,x1 là nghiệm của pt . tìm các giá trị của m để :x2^2-x1x2 +(m-2)x1=16

Question

cho pt x^2-(m-2)x-6=0 với m là tham số 
a)cm rằng với mọi giá trị của m pt luôn có 2 nghiệm pb
b) gọi x1 ,x1 là nghiệm của pt . tìm các giá trị của m để :x2^2-x1x2 +(m-2)x1=16

Accepted Answer

a) Ta xét phương trình $ x^2 - (m-2)x - 6 = 0 $ với $ m $ là tham số.

Để chứng minh phương trình này luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của $ m $, ta cần kiểm tra dấu của biệt thức $ \Delta $.

Biệt thức của phương trình bậc hai $ ax^2 + bx + c = 0 $ là:
$$ \Delta = b^2 - 4ac $$

Áp dụng vào phương trình $ x^2 - (m-2)x - 6 = 0 $:
$$ a = 1, \quad b = -(m-2), \quad c = -6 $$

Ta có:
$$ \Delta = [-(m-2)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) $$
$$ \Delta = (m-2)^2 + 24 $$

Vì $ (m-2)^2 \geq 0 $ với mọi giá trị của $ m $, nên:
$$ \Delta = (m-2)^2 + 24 > 0 $$

Do đó, biệt thức $ \Delta $ luôn dương với mọi giá trị của $ m $, suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Gọi $ x_1 $ và $ x_2 $ là hai nghiệm của phương trình $ x^2 - (m-2)x - 6 = 0 $.

Theo đề bài, ta cần tìm các giá trị của $ m $ sao cho:
$$ x_2^2 - x_1x_2 + (m-2)x_1 = 16 $$

Áp dụng công thức Viète:
$$ x_1 + x_2 = m-2 $$
$$ x_1 x_2 = -6 $$

Ta có:
$$ x_2^2 - x_1x_2 + (m-2)x_1 = 16 $$

Thay $ x_1 x_2 = -6 $ vào:
$$ x_2^2 - (-6) + (m-2)x_1 = 16 $$
$$ x_2^2 + 6 + (m-2)x_1 = 16 $$
$$ x_2^2 + (m-2)x_1 = 10 $$

Ta biết rằng:
$$ x_2^2 = (x_2)(x_2) $$

Và theo công thức Viète:
$$ x_2 = m-2 - x_1 $$

Thay vào:
$$ (m-2 - x_1)^2 + (m-2)x_1 = 10 $$

Mở ngoặc và thu gọn:
$$ (m-2)^2 - 2(m-2)x_1 + x_1^2 + (m-2)x_1 = 10 $$
$$ (m-2)^2 - (m-2)x_1 + x_1^2 = 10 $$

Vì $ x_1^2 = (m-2)x_1 + 6 $ (từ $ x_1^2 - (m-2)x_1 - 6 = 0 $):
$$ (m-2)^2 - (m-2)x_1 + (m-2)x_1 + 6 = 10 $$
$$ (m-2)^2 + 6 = 10 $$
$$ (m-2)^2 = 4 $$

Giải phương trình:
$$ m-2 = 2 \quad \text{hoặc} \quad m-2 = -2 $$
$$ m = 4 \quad \text{hoặc} \quad m = 0 $$

Vậy các giá trị của $ m $ là:
$$ m = 4 \quad \text{hoặc} \quad m = 0 $$

cho pt x^2-(m-2)x-6=0 với m là tham số a)cm rằng với mọi giá trị của m pt luôn có 2 nghiệm pb b) gọi x1 ,x1 là nghiệm của pt . tìm các giá trị của m để :x2^2-x1x2 +(m-2)x1=16