Câu 9.
Để xác định khoảng đồng biến của hàm số dựa vào đạo hàm , ta thực hiện các bước sau:
1. Tìm các điểm cực trị:
Ta giải phương trình :
Điều này cho ta các nghiệm:
2. Xét dấu của đạo hàm trên các khoảng xác định:
- Trên khoảng :
Chọn :
Vậy trên .
- Trên khoảng :
Chọn :
Vậy trên .
- Trên khoảng :
Chọn :
Vậy trên .
- Trên khoảng :
Chọn :
Vậy trên .
3. Kết luận:
- Hàm số đồng biến trên các khoảng , , và .
Do đó, trong các đáp án đã cho, khoảng đồng biến của hàm số là:
Câu 10.
Để tìm vectơ , ta cần xác định vectơ trước. Vì M là trung điểm của đoạn BC, nên ta có:
Ta biết rằng:
Do đó:
Tiếp theo, ta tính vectơ bằng cách sử dụng vectơ và :
Ta biết rằng:
Do đó:
Vậy đáp án đúng là:
Câu 11.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần hiểu rằng có nghĩa là tích phân của hàm từ đến bằng 3. Tuy nhiên, tích phân từ cùng một điểm đến chính nó sẽ luôn bằng 0, trừ khi có sự nhầm lẫn trong cách viết hoặc giả sử nào đó.
Do đó, chúng ta cần xem xét lại đề bài để đảm bảo rằng chúng ta đã hiểu đúng. Giả sử rằng đề bài có thể có lỗi hoặc thiếu thông tin, chúng ta sẽ tiếp tục dựa trên thông tin đã cho.
Bây giờ, chúng ta cần tìm . Điều này có vẻ không rõ ràng vì nó không có ý nghĩa rõ ràng trong ngữ cảnh tích phân. Tuy nhiên, nếu chúng ta giả sử rằng đề bài muốn chúng ta tìm tích phân của từ một điểm nào đó đến một điểm khác, chúng ta cần thêm thông tin về các giới hạn tích phân.
Vì không có thông tin cụ thể về giới hạn tích phân, chúng ta không thể tính toán chính xác giá trị của . Do đó, chúng ta cần thêm thông tin về giới hạn tích phân để có thể giải quyết bài toán này một cách chính xác.
Tóm lại, do thiếu thông tin về giới hạn tích phân, chúng ta không thể tính toán chính xác giá trị của .
Câu 12.
Để giải bất phương trình , ta thực hiện các bước sau:
1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ):
- Đối với , ta có .
- Đối với , ta có .
- Kết hợp hai điều kiện trên, ta có ĐKXĐ là .
2. Giải bất phương trình:
- Vì hàm số là hàm số đồng biến trên tập xác định của nó, nên ta có:
- Giải bất phương trình :
3. Xác định tập nghiệm:
- Kết hợp điều kiện xác định và kết quả từ bước 2 (), ta có:
- Vậy tập nghiệm của bất phương trình là .
Do đó, đáp án đúng là:
Câu 1.
Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu:
Phần a) Tìm hình chiếu vuông góc của điểm lên đường thẳng :
Đường thẳng có phương vector . Ta cần tìm điểm trên sao cho đoạn thẳng vuông góc với .
Phương trình tham số của là:
Gọi có tọa độ trên , ta có:
Vector là:
Để vuông góc với , ta có:
Thay vào phương trình tham số của , ta tìm được tọa độ của :
Phần b) Tính diện tích tam giác :
Đường thẳng cắt mặt cầu tại hai điểm và . Diện tích tam giác bằng 12.
Ta cần tìm khoảng cách từ điểm đến đường thẳng để tính diện tích tam giác .
Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng là:
Trong đó, .
Tích vector là:
Tính độ dài của :
Độ dài của là:
Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng là:
Diện tích tam giác là:
Phần c) Xác nhận tâm và bán kính của mặt cầu :
Mặt cầu có tâm và bán kính .
Phần d) Kiểm tra đường thẳng đi qua điểm :
Thay tọa độ của vào phương trình tham số của :
Do không đồng nhất, nên điểm không nằm trên đường thẳng .
Kết luận:
a) Hình chiếu vuông góc của điểm lên đường thẳng là điểm .
b) Đường thẳng cắt mặt cầu tại hai điểm và và diện tích tam giác bằng 12.
c) Mặt cầu có tâm và bán kính .
d) Đường thẳng không đi qua điểm .
Câu 2.
a) Đồ thị hàm số có hai điểm uốn nên hàm số có hai điểm cực trị. Vậy a đúng.
b) Đồ thị hàm số có hai điểm uốn là và Trên khoảng đồ thị hàm số là một cung cong lõm xuống nên hàm số đồng biến trên khoảng Vậy b sai.
c) Ta thấy Thay vào hàm số ta nhận thấy chỉ có và thỏa mãn còn lại không thỏa mãn. Vậy c sai.
d) Trên đoạn hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 3 tại và Vậy d sai.
Câu 3.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Tính số lượng các viên bi đã đánh số:
- Số viên bi màu đỏ đã đánh số: viên.
- Số viên bi màu vàng đã đánh số: viên.
2. Tổng số viên bi đã đánh số:
- Tổng số viên bi đã đánh số: viên.
3. Xác suất của biến cố A (viên bi được lấy ra có đánh số):
- Xác suất của biến cố A: .
4. Xác suất của biến cố B (viên bi được lấy ra có màu đỏ):
- Xác suất của biến cố B: .
5. Xác suất của biến cố (viên bi được lấy ra có đánh số và có màu đỏ):
- Xác suất của biến cố : .
6. Xác suất của biến cố (viên bi được lấy ra có đánh số biết rằng nó có màu đỏ):
- Xác suất của biến cố : .
Vậy, xác suất của các biến cố là:
-
-
-
-
Đáp số:
-
-
-
-