Giải hộ e ạ Câu 7. [Mức độ 2] Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 2a . Khoảng cách từ điểm A',đến đường thẳng BD bằng:,$A.~\sqrt6a.$ B. 2a. $C.~\sqrt5a.$ $D.~2\sqrt2a.$,Câu 8. [Mức độ 1] Trong không gian Oxyz , cho hai điểm $A(1;0;2)$ và $B(-1;2;0).$ Trung điểm đoạn,thẳng AB có tọa độ là:,$A.~(0;2;2).$ $B.~(-1;1;-1).$ $C.~(1;1;1).$ $D.~(0;1;1).$,Câu 9. [Mức độ 2] Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f^\prime(x)=x^2(x+2)(x^2+x-2)(x-1)^4$ với mọi $x\in R$,. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:,A. 3. B. 2. C. 1. D. 0.,Câu 10. [Mức độ 2] Gọi $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình $\log_x2+\log_{16}x=2.$ Tích $x_1.x_2$ bằng,A. 64. B. 256. C. 8. D. 16.,Câu 11. [Mức độ 2] Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm $y=2x-x^2$ và trục hoành. Thể tích vật,thể tròn xoay sinh ra khi cho (H) quay quanh trục hoành bằng,$A.~\frac{16}{15}.$ $B.~\frac43.$ $C.~\frac{16\pi}{15}.$ $D.~\frac{4\pi}3.$,Câu 12. [Mức độ 2] Trong không gian Oxyz , cho ba điểm $A(1;-1;2),~B(2;0;1)$ và $C(0;-1;3).$ Giá trị,của $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ bằng,A. 0. B. -4. C. -2. D. 20.

Question

Accepted Answer

Câu 7.
Để tìm khoảng cách từ điểm $ A' $ đến đường thẳng $ BD $ trong hình lập phương $ ABCD.A'B'C'D' $ có cạnh bằng $ 2a $, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định tọa độ các đỉnh của hình lập phương:
   - $ A(0, 0, 0) $
   - $ B(2a, 0, 0) $
   - $ D(0, 2a, 0) $
   - $ A'(0, 0, 2a) $

2. Tìm vectơ $ \overrightarrow{BD} $:
   $$
   \overrightarrow{BD} = D - B = (0 - 2a, 2a - 0, 0 - 0) = (-2a, 2a, 0)
   $$

3. Tìm vectơ $ \overrightarrow{BA'} $:
   $$
   \overrightarrow{BA'} = A' - B = (0 - 2a, 0 - 0, 2a - 0) = (-2a, 0, 2a)
   $$

4. Tính khoảng cách từ điểm $ A' $ đến đường thẳng $ BD $:
   Khoảng cách từ điểm $ M $ đến đường thẳng đi qua điểm $ N $ và có vectơ chỉ phương $ \vec{d} $ được tính theo công thức:
   $$
   d = \frac{|\overrightarrow{NM} \times \vec{d}|}{|\vec{d}|}
   $$
   Ở đây, $ N = B $, $ M = A' $, và $ \vec{d} = \overrightarrow{BD} $.

- Tính tích vector $ \overrightarrow{BA'} \times \overrightarrow{BD} $:
     $$
     \overrightarrow{BA'} \times \overrightarrow{BD} = 
     \begin{vmatrix}
     \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \
     -2a & 0 & 2a \
     -2a & 2a & 0
     \end{vmatrix}
     = \vec{i}(0 \cdot 0 - 2a \cdot 2a) - \vec{j}(-2a \cdot 0 - 2a \cdot (-2a)) + \vec{k}(-2a \cdot 2a - 0 \cdot (-2a))
     = \vec{i}(-4a^2) - \vec{j}(4a^2) + \vec{k}(-4a^2)
     = (-4a^2, -4a^2, -4a^2)
     $$

- Tính độ dài của vectơ $ \overrightarrow{BA'} \times \overrightarrow{BD} $:
     $$
     |\overrightarrow{BA'} \times \overrightarrow{BD}| = \sqrt{(-4a^2)^2 + (-4a^2)^2 + (-4a^2)^2} = \sqrt{16a^4 + 16a^4 + 16a^4} = \sqrt{48a^4} = 4a^2\sqrt{3}
     $$

- Tính độ dài của vectơ $ \overrightarrow{BD} $:
     $$
     |\overrightarrow{BD}| = \sqrt{(-2a)^2 + (2a)^2 + 0^2} = \sqrt{4a^2 + 4a^2} = \sqrt{8a^2} = 2a\sqrt{2}
     $$

- Tính khoảng cách:
     $$
     d = \frac{|\overrightarrow{BA'} \times \overrightarrow{BD}|}{|\overrightarrow{BD}|} = \frac{4a^2\sqrt{3}}{2a\sqrt{2}} = \frac{4a^2\sqrt{3}}{2a\sqrt{2}} = 2a \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 2a \cdot \frac{\sqrt{6}}{2} = a\sqrt{6}
     $$

Vậy khoảng cách từ điểm $ A' $ đến đường thẳng $ BD $ là $ \sqrt{6}a $. Đáp án đúng là $ A.~\sqrt{6}a $.

Câu 8.
Để tìm trung điểm của đoạn thẳng AB trong không gian Oxyz, ta sử dụng công thức tính trung điểm của hai điểm $ A(x_1, y_1, z_1) $ và $ B(x_2, y_2, z_2) $:

Trung điểm $ M $ của đoạn thẳng $ AB $ có tọa độ:
$$ M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2}\right) $$

Áp dụng vào bài toán:
- Điểm $ A $ có tọa độ $ (1, 0, 2) $
- Điểm $ B $ có tọa độ $ (-1, 2, 0) $

Ta tính từng tọa độ của trung điểm $ M $:
1. Tọa độ $ x $-tọa độ của $ M $:
$$ \frac{1 + (-1)}{2} = \frac{0}{2} = 0 $$

2. Tọa độ $ y $-tọa độ của $ M $:
$$ \frac{0 + 2}{2} = \frac{2}{2} = 1 $$

3. Tọa độ $ z $-tọa độ của $ M $:
$$ \frac{2 + 0}{2} = \frac{2}{2} = 1 $$

Vậy tọa độ của trung điểm $ M $ là $ (0, 1, 1) $.

Do đó, đáp án đúng là:
$$ D.~(0;1;1) $$

Câu 9.
Để tìm số điểm cực trị của hàm số $ f(x) $, ta cần xem xét đạo hàm $ f'(x) $.

Đạo hàm của hàm số là:
$$ f'(x) = x^2 (x + 2) (x^2 + x - 2) (x - 1)^4 $$

Bước 1: Tìm các nghiệm của đạo hàm $ f'(x) $:
$$ f'(x) = x^2 (x + 2) (x^2 + x - 2) (x - 1)^4 $$
Phân tích $ x^2 + x - 2 $:
$$ x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1) $$

Do đó:
$$ f'(x) = x^2 (x + 2) (x + 2) (x - 1) (x - 1)^4 = x^2 (x + 2)^2 (x - 1)^5 $$

Bước 2: Xác định các nghiệm của $ f'(x) $:
$$ f'(x) = 0 \Rightarrow x^2 (x + 2)^2 (x - 1)^5 = 0 $$
Các nghiệm là:
$$ x = 0, x = -2, x = 1 $$

Bước 3: Kiểm tra tính chất của đạo hàm tại các nghiệm này để xác định điểm cực trị:
- Tại $ x = 0 $:
  $$ f'(x) = x^2 (x + 2)^2 (x - 1)^5 $$
  Khi $ x $ tăng qua 0 từ âm sang dương, $ f'(x) $ không đổi dấu (vì $ x^2 $ luôn dương). Do đó, $ x = 0 $ không là điểm cực trị.

- Tại $ x = -2 $:
  $$ f'(x) = x^2 (x + 2)^2 (x - 1)^5 $$
  Khi $ x $ tăng qua -2 từ âm sang dương, $ f'(x) $ không đổi dấu (vì $ (x + 2)^2 $ luôn dương). Do đó, $ x = -2 $ không là điểm cực trị.

- Tại $ x = 1 $:
  $$ f'(x) = x^2 (x + 2)^2 (x - 1)^5 $$
  Khi $ x $ tăng qua 1 từ âm sang dương, $ f'(x) $ không đổi dấu (vì $ (x - 1)^5 $ luôn dương). Do đó, $ x = 1 $ không là điểm cực trị.

Kết luận: Hàm số $ f(x) $ không có điểm cực trị.

Đáp án đúng là: D. 0.

Câu 10.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ):
   - $ x > 0 $ và $ x \neq 1 $ vì $ \log_x 2 $ và $ \log_{16} x $ đều yêu cầu $ x $ dương và khác 1.

2. Chuyển đổi phương trình về cùng cơ số:
   - Ta biết rằng $ \log_{16} x = \frac{\log_2 x}{\log_2 16} = \frac{\log_2 x}{4} $.

Do đó, phương trình trở thành:
   $$
   \log_x 2 + \frac{\log_2 x}{4} = 2
   $$

3. Sử dụng tính chất của logarit:
   - Ta biết rằng $ \log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x} $. Gọi $ t = \log_2 x $, thì phương trình trở thành:
   $$
   \frac{1}{t} + \frac{t}{4} = 2
   $$

4. Nhân cả hai vế với $ 4t $ để loại bỏ mẫu số:
   $$
   4 + t^2 = 8t
   $$
   $$
   t^2 - 8t + 4 = 0
   $$

5. Giải phương trình bậc hai:
   - Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai $ at^2 + bt + c = 0 $:
   $$
   t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
   $$
   Với $ a = 1 $, $ b = -8 $, $ c = 4 $:
   $$
   t = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 16}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{48}}{2} = \frac{8 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{3}
   $$

6. Tìm giá trị của $ x $:
   - $ t = \log_2 x $, do đó:
   $$
   \log_2 x = 4 + 2\sqrt{3} \quad \text{hoặc} \quad \log_2 x = 4 - 2\sqrt{3}
   $$
   $$
   x = 2^{4 + 2\sqrt{3}} \quad \text{hoặc} \quad x = 2^{4 - 2\sqrt{3}}
   $$

7. Tính tích $ x_1 \cdot x_2 $:
   - $ x_1 = 2^{4 + 2\sqrt{3}} $ và $ x_2 = 2^{4 - 2\sqrt{3}} $:
   $$
   x_1 \cdot x_2 = 2^{(4 + 2\sqrt{3}) + (4 - 2\sqrt{3})} = 2^8 = 256
   $$

Vậy, tích $ x_1 \cdot x_2 $ bằng 256.

Đáp án đúng là: B. 256.

Câu 11.
Để tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 2x - x^2$ và trục hoành quay quanh trục hoành, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm giao điểm của đồ thị với trục hoành:
   Đặt $y = 0$, ta có:
   $$
   2x - x^2 = 0 \implies x(2 - x) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = 2
   $$
   Vậy, giao điểm của đồ thị với trục hoành là $(0, 0)$ và $(2, 0)$.

2. Xác định khoảng tích phân:
   Khoảng tích phân là từ $x = 0$ đến $x = 2$.

3. Áp dụng công thức tính thể tích vật thể tròn xoay:
   Thể tích $V$ của vật thể tròn xoay khi quay quanh trục hoành được tính bằng công thức:
   $$
   V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx
   $$
   Trong đó, $f(x) = 2x - x^2$, $a = 0$, và $b = 2$. Do đó:
   $$
   V = \pi \int_{0}^{2} (2x - x^2)^2 \, dx
   $$

4. Tính tích phân:
   Ta có:
   $$
   (2x - x^2)^2 = 4x^2 - 4x^3 + x^4
   $$
   Vậy:
   $$
   V = \pi \int_{0}^{2} (4x^2 - 4x^3 + x^4) \, dx
   $$
   Tính từng phần:
   $$
   \int_{0}^{2} 4x^2 \, dx = 4 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = 4 \left( \frac{8}{3} - 0 \right) = \frac{32}{3}
   $$
   $$
   \int_{0}^{2} -4x^3 \, dx = -4 \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2} = -4 \left( 4 - 0 \right) = -16
   $$
   $$
   \int_{0}^{2} x^4 \, dx = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{2} = \frac{32}{5}
   $$
   Cộng lại:
   $$
   V = \pi \left( \frac{32}{3} - 16 + \frac{32}{5} \right)
   $$
   Chuyển về cùng mẫu số:
   $$
   \frac{32}{3} = \frac{160}{15}, \quad -16 = -\frac{240}{15}, \quad \frac{32}{5} = \frac{96}{15}
   $$
   Vậy:
   $$
   V = \pi \left( \frac{160}{15} - \frac{240}{15} + \frac{96}{15} \right) = \pi \left( \frac{160 - 240 + 96}{15} \right) = \pi \left( \frac{16}{15} \right) = \frac{16\pi}{15}
   $$

Vậy thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi cho (H) quay quanh trục hoành là $\boxed{\frac{16\pi}{15}}$.

Câu 12.
Để tính giá trị của $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm vectơ $\overrightarrow{AB}$:
$$
\overrightarrow{AB} = B - A = (2 - 1, 0 - (-1), 1 - 2) = (1, 1, -1)
$$

2. Tìm vectơ $\overrightarrow{AC}$:
$$
\overrightarrow{AC} = C - A = (0 - 1, -1 - (-1), 3 - 2) = (-1, 0, 1)
$$

3. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$:
$$
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (1, 1, -1) \cdot (-1, 0, 1) = 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 + (-1) \cdot 1 = -1 + 0 - 1 = -2
$$

Vậy giá trị của $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ là $-2$.

Đáp án đúng là: C. -2.