Câu 1:
Để tìm nguyên hàm của hàm số , chúng ta sẽ áp dụng phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số mũ.
Bước 1: Xác định dạng của hàm số.
Bước 2: Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số mũ.
Nguyên hàm của là , trong đó là hàm số bên trong và là đạo hàm của .
Trong trường hợp này, . Đạo hàm của là:
Bước 3: Thay vào công thức nguyên hàm.
Vậy nguyên hàm của hàm số là .
Đáp án đúng là:
Câu 2:
Để tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số trục hoành và hai đường thẳng , ta cần áp dụng công thức tích phân để tính diện tích.
Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng và là:
Lý do là vì diện tích luôn là một giá trị dương, nên ta cần lấy giá trị tuyệt đối của hàm số trong tích phân để đảm bảo rằng diện tích không bị âm.
Do đó, đáp án đúng là:
Đáp án:
Câu 3:
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là khoảng cách giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong dải dữ liệu.
Trong bảng thống kê, ta thấy:
- Giá trị nhỏ nhất của cự li ném tạ là 19 m (ở nhóm "[19; 19,5)").
- Giá trị lớn nhất của cự li ném tạ là 21,5 m (ở nhóm "[21; 21,5)").
Do đó, khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm này là:
Vậy đáp án đúng là:
A. 2,5.
Câu 4:
Để tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với mặt phẳng , ta thực hiện các bước sau:
1. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P):
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là .
2. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng:
Vì đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, nên vectơ chỉ phương của đường thẳng sẽ trùng với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng là .
3. Lập phương trình đường thẳng:
Đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương có phương trình tham số là:
So sánh với các đáp án đã cho, ta thấy phương trình đúng là:
Vậy đáp án đúng là:
Câu 5:
Để tìm tâm đối xứng của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số , ta cần xác định phương trình của các đường tiệm cận đứng và ngang.
1. Tiệm cận đứng: Đường tiệm cận đứng của hàm số là đường thẳng .
2. Tiệm cận ngang: Đường tiệm cận ngang của hàm số là đường thẳng .
Từ hình vẽ, ta thấy:
- Đường tiệm cận đứng là .
- Đường tiệm cận ngang là .
Tâm đối xứng của hai đường tiệm cận là giao điểm của chúng. Do đó, tâm đối xứng là điểm có tọa độ .
Vậy tâm đối xứng của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số là .
Đáp án đúng là: .
Câu 6:
Để giải bất phương trình , chúng ta thực hiện các bước sau:
1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ):
- Đối với bất phương trình , ta cần đảm bảo rằng . Do đó:
2. Giải bất phương trình:
- Ta có . Biểu thức này tương đương với:
- Vì , nên ta có:
- Giải phương trình này:
3. Xác định tập nghiệm:
- Kết hợp điều kiện xác định và kết quả từ bất phương trình , ta có:
- Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:
Do đó, đáp án đúng là:
Câu 7:
Phương pháp giải:
- Xác định tâm và bán kính của mặt cầu từ phương trình đã cho.
- So sánh với các đáp án để chọn lựa.
Bước 1: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu.
Phương trình mặt cầu (S) được cho là:
Từ phương trình này, ta nhận thấy rằng:
- Tâm của mặt cầu là
- Bán kính của mặt cầu là
Bước 2: So sánh với các đáp án.
- Đáp án A:
- Đáp án B:
- Đáp án C:
- Đáp án D:
Tâm của mặt cầu (S) là , do đó đáp án đúng là:
Câu 8:
Trước tiên, ta xét hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và .
- Vì , nên , , , và .
Ta sẽ kiểm tra từng khẳng định:
A. :
- Ta có , do đó .
- Mặt khác, trong hình vuông ABCD, .
- Do đó, vì và .
- Từ đó suy ra .
B. :
- Ta có , do đó .
- Tuy nhiên, không trực tiếp vuông góc với vì nằm trong mặt phẳng và không có điều kiện trực giao nào khác giữa và .
C. :
- Ta có , do đó .
- Mặt khác, nằm trong mặt phẳng và nằm trong mặt phẳng .
- Do đó, .
D. :
- Ta có , do đó .
- Mặt khác, trong hình vuông ABCD, .
- Do đó, vì và .
- Từ đó suy ra .
Như vậy, khẳng định sai là:
B.
Đáp án: B.
Câu 9:
Để giải phương trình , ta thực hiện các bước sau:
1. Áp dụng hàm lôgarit tự nhiên (ln) vào cả hai vế của phương trình:
Lấy ln của cả hai vế:
2. Sử dụng tính chất của hàm lôgarit tự nhiên:
Vì , nên ta có:
Do đó:
Vậy nghiệm của phương trình là .
Đáp án đúng là: .
Câu 10:
Để tìm số hạng của cấp số nhân, ta cần biết công bội của cấp số nhân này.
Bước 1: Tìm công bội
- Ta biết rằng và .
- Công bội của cấp số nhân được tính bằng cách chia số hạng thứ hai cho số hạng thứ nhất:
Bước 2: Tìm số hạng
- Số hạng thứ của cấp số nhân được tính bằng công thức .
- Áp dụng công thức để tìm :
Vậy số hạng của cấp số nhân là 24.
Đáp án đúng là: A. 24.