Bài 35. Cho đường tròn (O) đường kính AB=2R và một điểm M di chuyển trên nửa đường tròn. Người ta vẽ đường tròn (E) tiếp xúc với (O) tại M và tiếp xúc với AB tại N. Đường tròn này cắt MA,MB lần lượt tạ...

Bài 35. a. Chứng minh CD // AB: - Vì (E) tiếp xúc với (O) tại M nên OM vuông góc với đường kính của (E) đi qua M. - Mặt khác, (E) tiếp xúc với AB tại N nên ON vuông góc với đường kính của (E) đi qua N. - Do đó, ON song song với OM, suy ra ON song song với AB. - Vì ON song song với AB và ON vuông góc với đường kính của (E) đi qua N, nên đường kính của (E) đi qua N vuông góc với AB. - Kết hợp với OM vuông góc với đường kính của (E) đi qua M, ta có đường kính của (E) đi qua M vuông góc với ON. - Từ đó, ta suy ra CD // AB. b. Chứng minh MN là tia phân giác của góc AMB và đường thẳng MN đi qua một điểm K cố định: - Vì (E) tiếp xúc với (O) tại M và tiếp xúc với AB tại N, nên ON = OM. - Do đó, tam giác OMN là tam giác cân tại O, suy ra góc OMN = góc ONM. - Mặt khác, vì ON song song với AB, nên góc ONM = góc AMN (góc so le trong). - Từ đó, ta suy ra góc OMN = góc AMN, tức là MN là tia phân giác của góc AMB. - Vì ON = OM và ON song song với AB, nên điểm N nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng OM. - Do đó, đường thẳng MN đi qua tâm O của (O), tức là đi qua điểm K cố định là tâm O. c. Chứng minh tích KM.KN cố định: - Vì MN là tia phân giác của góc AMB và đi qua tâm O của (O), nên K là trung điểm của đoạn thẳng ON. - Do đó, KN = KO = R/2. - Mặt khác, vì ON = OM và ON song song với AB, nên ON = R. - Từ đó, ta suy ra KM = ON - KN = R - R/2 = R/2. - Vậy tích KM.KN = (R/2) (R/2) = R^2/4, là một hằng số cố định. d. Gọi giao điểm của các tia CN, DN với KB, KA lần lượt là C′, D′. Tìm vị trí của M để chu vi tam giác NC′D′ đạt giá trị nhỏ nhất có thể được: - Vì CD // AB, nên tam giác NC′D′ đồng dạng với tam giác NAB. - Chu vi tam giác NC′D′ = NC′ + ND′ + C′D′. - Vì NC′ = NA (ND′ / NB) và ND′ = NB (NC′ / NA), nên NC′ + ND′ = NA (ND′ / NB) + NB (NC′ / NA). - Mặt khác, vì C′D′ = AB (ND′ / NB) (NC′ / NA), nên chu vi tam giác NC′D′ = NA (ND′ / NB) + NB (NC′ / NA) + AB (ND′ / NB) (NC′ / NA). - Để chu vi tam giác NC′D′ đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần tối thiểu hóa tổng NA (ND′ / NB) + NB (NC′ / NA) + AB (ND′ / NB) (NC′ / NA). - Vì NA + NB = AB, nên ta cần tối thiểu hóa tổng NA (ND′ / NB) + NB (NC′ / NA) + AB (ND′ / NB) (NC′ / NA) khi NA = NB = AB/2. - Từ đó, ta suy ra M nằm ở trung điểm của cung AB, tức là M là điểm đối xứng với O qua AB.