a) Chứng minh 4 điểm cùng thuộc một đường tròn.
Trong đường tròn , ta có là đường kính.
Theo giả thiết, tại . Do đó, .
Điểm nằm trên đường tròn . Vì là đường kính, góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là .
Vì điểm nằm trên đường thẳng , nên .
Xét tứ giác :
Ta có .
Và .
Hai đỉnh và cùng nhìn cạnh dưới một góc vuông. Do đó, bốn điểm cùng thuộc một đường tròn. Đường tròn này có đường kính là .
b) Chứng minh .
Trong tam giác :
- Đường thẳng chứa điểm và . Vì tại , nên là đường cao của xuất phát từ đỉnh đến cạnh .
- Vì là đường kính của , góc nội tiếp . Điều này có nghĩa là . Vì thẳng hàng, . Do đó, là đường cao của xuất phát từ đỉnh đến cạnh .
- là giao điểm của và .
Trong , hai đường cao và cắt nhau tại một điểm. Gọi điểm đó là trực tâm của . Đường thẳng chứa đường cao thứ ba của cũng phải đi qua điểm này.
Đường thẳng là đường thẳng chứa đoạn thẳng . Nếu là trực tâm của , thì phải là đường cao của xuất phát từ đỉnh đến cạnh . Điều này có nghĩa là .
Vậy, là trực tâm của nếu và chỉ nếu và và .
Chúng ta có (do ) và (do ). Do đó, là trực tâm của .
Vì là trực tâm của , suy ra . Do đó .
Vì và , hai điểm và cùng nhìn cạnh dưới một góc vuông. Điều này chứng tỏ bốn điểm cùng thuộc một đường tròn có đường kính là . Đường tròn này chính là đường tròn .
Vậy, cùng thuộc đường tròn .
Điểm nằm trên đường thẳng (vì thẳng hàng) và trên đường thẳng (vì thẳng hàng).
Theo định lý về phương tích của một điểm đối với đường tròn, ta có .
c) Chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác và .
Chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác (tại ).
Để chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác tại , ta cần chứng minh (theo định lý góc giữa tiếp tuyến và dây cung).
Từ phần b, ta đã chứng minh và là hai điểm thuộc đường tròn có tâm .
Do đó, (là bán kính của đường tròn ). Suy ra là tam giác cân tại .
Trong tam giác cân , ta có .
Góc là góc ở tâm chắn cung . Góc là góc nội tiếp chắn cung .
Do đó, .
Thay vào biểu thức của , ta được .
Tiếp theo, xét góc . Vì nằm trên đường thẳng , nên .
Từ phần b, ta đã biết . Do thẳng hàng, nên .
Suy ra là tam giác vuông tại .
Trong tam giác vuông , tổng hai góc nhọn là , tức là .
Vì nằm trên đường thẳng , nên .
Vậy, ta có , hay .
Từ đó, .
So sánh hai kết quả, ta thấy và .
Vậy, .
Theo định lý góc giữa tiếp tuyến và dây cung, đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác tại điểm .
Chứng minh .
Từ phần b, ta có .
Từ phần a, ta có cùng thuộc một đường tròn.
Điểm là giao điểm của và . Đường thẳng nằm trên . Đường thẳng nằm trên .
Do và là hai cát tuyến của đường tròn cắt nhau tại , theo định lý về phương tích, ta có .
Kết hợp với đã chứng minh ở phần b, ta suy ra .
Do thẳng hàng và thẳng hàng, đẳng thức chứng tỏ bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.
Vậy, ta có các tứ giác nội tiếp sau:
1. nội tiếp.
2. nội tiếp (trên ).
3. nội tiếp.
Từ nội tiếp, ta có (hai góc nội tiếp cùng chắn cung ).
Từ nội tiếp, ta có (hai góc nội tiếp cùng chắn cung ).
Ta cũng có là trực tâm của .
thẳng hàng (trên ). nằm trên . là trung điểm của . thẳng hàng.