Giúp mình với! II. TỰ LUẬN,Câu 9. Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}3x+2y=4\4x-y=9\end{array} ight.$,Câu 10. Rút gọn biểu thức:,$P=(\frac{\sqrt x}{3+\sqrt x}+\frac{2x}{9-x}):(\frac{\sqrt x-1}{x-3\sqrt x}-\frac2{\sqrt x}),$ với $x0,~x
e9,~x
e25$,Câu 11. Giả sử $x_1,x_2$ là 2 nghiệm của phương trình $x^2-5x+3=0,$ không giải phương,trình hãy tính giá trị của biểu thức sau: $A=x^2_1+x^2_2-\frac1{x_1}-\frac1{x_2}$,Câu 12. Một đôi xe theo kế hoạch phải chở hết 140 tấn hàng trong một số ngày quy định.,Do mỗi ngày đội đó chở vượt mức 5 tấn nên đội đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian,quy định 1 ngày và chở thêm được 10 tấn. Hỏi theo kế hoạch đội xe chở hàng hết bao,nhiêu ngày.,Câu 13. Cho đường tròn (O), bán kính $R(R0)$ và dây cung BC cố định. Một điểm A,chuyển động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Kẻ các đường cao,AD, BE của tam giác ABC cắt nhau tại H và BE cắt đường tròn (O) tại F (F khác,B).,a. Chứng minh rằng tứ giác DHEC nội tiếp,b. Kẻ đường kính AM của đường tròn (O) và OI vuông góc với BC tại I.,Chứng minh rằng I là trung điểm của HM và tính AF biết $BC=R\sqrt3.$,Câu 14.,a) Bạn Thắng có n tấm thẻ cùng loại được đánh số từ 1 đến n. Bạn Thắng rút ngẫu,nhiên 1 tấm thẻ. Biết rằng xác suất của biến cố "Lấy được tấm thẻ ghi số có một chữ số là,0,2. Hỏi bạn Thắng có bao nhiêu tấm thẻ?,b) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn $ab+bc+ca=1.$ Chứng minh rằng:,$\frac{\sqrt{a^2+1}-a}{bc}+\frac{\sqrt{b^2+1}-b}{ac}+\frac{\sqrt{c^2+1}-c}{ab}\leq\frac1a+\frac1b+\frac1c$,.....HẾT.....,Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Question

Giúp mình với! II. TỰ LUẬN,Câu 9. Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}3x+2y=4\4x-y=9\end{array}ight.$,Câu 10. Rút gọn biểu thức:,$P=(\frac{\sqrt x}{3+\sqrt x}+\frac{2x}{9-x}):(\frac{\sqrt x-1}{x-3\sqrt x}-\frac2{\sqrt x}),$ với $x>0,~x
e9,~x
e25$,Câu 11. Giả sử $x_1,x_2$ là 2 nghiệm của phương trình $x^2-5x+3=0,$ không giải phương,trình hãy tính giá trị của biểu thức sau: $A=x^2_1+x^2_2-\frac1{x_1}-\frac1{x_2}$,Câu 12. Một đôi xe theo kế hoạch phải chở hết 140 tấn hàng trong một số ngày quy định.,Do mỗi ngày đội đó chở vượt mức 5 tấn nên đội đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian,quy định 1 ngày và chở thêm được 10 tấn. Hỏi theo kế hoạch đội xe chở hàng hết bao,nhiêu ngày.,Câu 13. Cho đường tròn (O), bán kính $R(R>0)$ và dây cung BC cố định. Một điểm A,chuyển động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Kẻ các đường cao,AD, BE của tam giác ABC cắt nhau tại H và BE cắt đường tròn (O) tại F (F khác,B).,a. Chứng minh rằng tứ giác DHEC nội tiếp,b. Kẻ đường kính AM của đường tròn (O) và OI vuông góc với BC tại I.,Chứng minh rằng I là trung điểm của HM và tính AF biết $BC=R\sqrt3.$,Câu 14.,a) Bạn Thắng có n tấm thẻ cùng loại được đánh số từ 1 đến n. Bạn Thắng rút ngẫu,nhiên 1 tấm thẻ. Biết rằng xác suất của biến cố "Lấy được tấm thẻ ghi số có một chữ số là,0,2. Hỏi bạn Thắng có bao nhiêu tấm thẻ?,b) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn $ab+bc+ca=1.$ Chứng minh rằng:,$\frac{\sqrt{a^2+1}-a}{bc}+\frac{\sqrt{b^2+1}-b}{ac}+\frac{\sqrt{c^2+1}-c}{ab}\leq\frac1a+\frac1b+\frac1c$,.....HẾT.....,Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Accepted Answer

Câu 9. Để giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}3x+2y=4\4x-y=9\end{array}\right.$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Nhân phương trình thứ hai với 2 để dễ dàng loại bỏ biến $y$: $$ \left\{ \begin{array}{l} 3x + 2y = 4 \ 8x - 2y = 18 \end{array} \right. $$ Bước 2: Cộng hai phương trình lại với nhau để loại bỏ biến $y$: $$ (3x + 2y) + (8x - 2y) = 4 + 18 \ 3x + 8x = 22 \ 11x = 22 \ x = 2 $$ Bước 3: Thay giá trị $x = 2$ vào phương trình thứ hai để tìm giá trị của $y$: $$ 4x - y = 9 \ 4(2) - y = 9 \ 8 - y = 9 \ -y = 9 - 8 \ -y = 1 \ y = -1 $$ Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x, y) = (2, -1)$. Đáp số: $(2, -1)$. Câu 10. Điều kiện xác định: $ x > 0, x \neq 9, x \neq 25 $. Bước 1: Rút gọn từng phân thức trong biểu thức $ P $. Ta có: $$ P = \left( \frac{\sqrt{x}}{3 + \sqrt{x}} + \frac{2x}{9 - x} \right) : \left( \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 3\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt{x}} \right) $$ Bước 2: Rút gọn phân thức bên trái của biểu thức $ P $. Phân thức đầu tiên: $$ \frac{\sqrt{x}}{3 + \sqrt{x}} $$ Phân thức thứ hai: $$ \frac{2x}{9 - x} = \frac{2x}{(3 - \sqrt{x})(3 + \sqrt{x})} $$ Bước 3: Rút gọn phân thức bên phải của biểu thức $ P $. Phân thức đầu tiên: $$ \frac{\sqrt{x} - 1}{x - 3\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)} $$ Phân thức thứ hai: $$ \frac{2}{\sqrt{x}} $$ Bước 4: Cộng các phân thức trong ngoặc đơn ở phần tử số và mẫu số. Phần tử số: $$ \frac{\sqrt{x}}{3 + \sqrt{x}} + \frac{2x}{(3 - \sqrt{x})(3 + \sqrt{x})} = \frac{\sqrt{x}(3 - \sqrt{x}) + 2x}{(3 + \sqrt{x})(3 - \sqrt{x})} = \frac{3\sqrt{x} - x + 2x}{9 - x} = \frac{3\sqrt{x} + x}{9 - x} $$ Phần mẫu số: $$ \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)} - \frac{2}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x} - 1 - 2(\sqrt{x} - 3)}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)} = \frac{\sqrt{x} - 1 - 2\sqrt{x} + 6}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)} = \frac{-\sqrt{x} + 5}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)} $$ Bước 5: Chia hai phân thức đã rút gọn. $$ P = \frac{\frac{3\sqrt{x} + x}{9 - x}}{\frac{-\sqrt{x} + 5}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)}} = \frac{(3\sqrt{x} + x) \cdot \sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)}{(9 - x)(-\sqrt{x} + 5)} $$ Bước 6: Rút gọn biểu thức cuối cùng. $$ P = \frac{(3\sqrt{x} + x) \cdot \sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)}{(9 - x)(-\sqrt{x} + 5)} = \frac{(3\sqrt{x} + x) \cdot \sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)}{(9 - x)(-\sqrt{x} + 5)} $$ Đáp số: $ P = \frac{(3\sqrt{x} + x) \cdot \sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)}{(9 - x)(-\sqrt{x} + 5)} $ Câu 11. Theo định lý Vi-et ta có: $x_{1}+x_{2}=5$ $x_{1}.x_{2}=3$ $A=x^{2}_{1}+x^{2}_{2}-\frac{1}{x_{1}}-\frac{1}{x_{2}}$ $=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}.x_{2}-(\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}.x_{2}})$ $=5^{2}-2\times 3-(\frac{5}{3})$ $=25-6-\frac{5}{3}$ $=\frac{52}{3}$ Câu 12. Gọi theo kế hoạch đội xe chở hết số hàng trong số ngày là x (ngày, điều kiện: x > 1). Theo đề bài ta có: 140 : x = (140 + 10) : (x – 1) – 5 140 : x = 150 : (x – 1) – 5 140 : x + 5 = 150 : (x – 1) 140 × (x – 1) + 5 × x × (x – 1) = 150 × x 140 × x – 140 + 5 × x^2 – 5 × x = 150 × x 5 × x^2 – 15 × x – 140 = 0 x^2 – 3 × x – 28 = 0 (x – 7) × (x + 4) = 0 x = 7 hoặc x = -4 (loại) Vậy theo kế hoạch đội xe chở hết số hàng trong số ngày là 7 ngày. Câu 13. a. Ta có $\widehat{BDC}=\widehat{BEC}=90^\circ$ nên tứ giác DHEC nội tiếp (cùng chắn cung BC) b. Ta có $\widehat{AFC}=\widehat{ABC}$ (cùng chắn cung AC) và $\widehat{ABC}=\widehat{EFC}$ (cùng phụ với $\widehat{CFH})$ suy ra $\widehat{AFC}=\widehat{EFC}$ Mà FC chung nên $\triangle AFC=\triangle EFC(c.g.c)$ suy ra AF=EF Ta có $\widehat{ABF}=\widehat{ACF}=90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên B, C, F, M thẳng hàng Mà AM là đường kính nên $\widehat{ABM}=90^\circ$ suy ra $\widehat{ABM}=\widehat{EBM}=90^\circ$ suy ra $\triangle ABM=\triangle EBM(c.g.c)$ suy ra AM=EM Mà AF=FE nên I là trung điểm của HM Ta có $\widehat{AIF}=\widehat{AIB}=90^\circ$ (chứng minh trên) nên tứ giác AIFB nội tiếp (tứ giác có 1 cặp góc đối bằng 90°) suy ra $\widehat{AFB}=\widehat{AIB}$ (cặp góc nội tiếp cùng chắn cung AB) Mà $\widehat{AIB}=\widehat{ACB}$ (cùng phụ với $\widehat{IBC})$ suy ra $\widehat{AFB}=\widehat{ACB}$ suy ra $\triangle AFB=\triangle ACB(c.a.c)$ suy ra AF=AC Ta có $\widehat{ACB}=\widehat{AMB}$ (cùng chắn cung AB) và $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}$ (2 góc đỉnh đối đỉnh) nên $\widehat{ACB}=\widehat{AMC}$ suy ra $\triangle AMC=\triangle ACB(c.a.c)$ suy ra AC=MC Mà $BC=R\sqrt3$ nên $\widehat{CAM}=60^\circ$ (góc nội tiếp chắn cung BC) suy ra $\triangle AMC$ đều suy ra $AC=MC=AM=2R$ suy ra $AF=2R$ Câu 14. a) Xác suất lấy được tấm thẻ ghi số có một chữ số là 0,2. Số tấm thẻ ghi số có một chữ số là 9 tấm. Vậy ta có: $$ \frac{9}{n} = 0,2 $$ $$ n = \frac{9}{0,2} = 45 $$ Đáp số: 45 tấm thẻ b) Ta cần chứng minh rằng: $$ \frac{\sqrt{a^2+1}-a}{bc}+\frac{\sqrt{b^2+1}-b}{ac}+\frac{\sqrt{c^2+1}-c}{ab}\leq\frac1a+\frac1b+\frac1c $$ Đầu tiên, ta xét biểu thức $\sqrt{a^2+1} - a$. Ta có: $$ \sqrt{a^2+1} - a = \frac{(\sqrt{a^2+1} - a)(\sqrt{a^2+1} + a)}{\sqrt{a^2+1} + a} = \frac{a^2 + 1 - a^2}{\sqrt{a^2+1} + a} = \frac{1}{\sqrt{a^2+1} + a} $$ Do đó: $$ \frac{\sqrt{a^2+1} - a}{bc} = \frac{1}{bc(\sqrt{a^2+1} + a)} $$ Tương tự: $$ \frac{\sqrt{b^2+1} - b}{ac} = \frac{1}{ac(\sqrt{b^2+1} + b)} $$ $$ \frac{\sqrt{c^2+1} - c}{ab} = \frac{1}{ab(\sqrt{c^2+1} + c)} $$ Ta cần chứng minh: $$ \frac{1}{bc(\sqrt{a^2+1} + a)} + \frac{1}{ac(\sqrt{b^2+1} + b)} + \frac{1}{ab(\sqrt{c^2+1} + c)} \leq \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} $$ Nhận thấy rằng: $$ \sqrt{a^2+1} + a > a $$ $$ \sqrt{b^2+1} + b > b $$ $$ \sqrt{c^2+1} + c > c $$ Do đó: $$ bc(\sqrt{a^2+1} + a) > abc $$ $$ ac(\sqrt{b^2+1} + b) > abc $$ $$ ab(\sqrt{c^2+1} + c) > abc $$ Vậy: $$ \frac{1}{bc(\sqrt{a^2+1} + a)} < \frac{1}{abc} \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{a^2bc} $$ $$ \frac{1}{ac(\sqrt{b^2+1} + b)} < \frac{1}{abc} \cdot \frac{1}{b} = \frac{1}{ab^2c} $$ $$ \frac{1}{ab(\sqrt{c^2+1} + c)} < \frac{1}{abc} \cdot \frac{1}{c} = \frac{1}{abc^2} $$ Cộng lại ta có: $$ \frac{1}{bc(\sqrt{a^2+1} + a)} + \frac{1}{ac(\sqrt{b^2+1} + b)} + \frac{1}{ab(\sqrt{c^2+1} + c)} < \frac{1}{a^2bc} + \frac{1}{ab^2c} + \frac{1}{abc^2} $$ Mà: $$ \frac{1}{a^2bc} + \frac{1}{ab^2c} + \frac{1}{abc^2} = \frac{1}{abc} \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) $$ Vì $ab + bc + ca = 1$, nên: $$ \frac{1}{abc} = \frac{ab + bc + ca}{abc} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} $$ Do đó: $$ \frac{1}{a^2bc} + \frac{1}{ab^2c} + \frac{1}{abc^2} = \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right)^2 $$ Vậy: $$ \frac{1}{bc(\sqrt{a^2+1} + a)} + \frac{1}{ac(\sqrt{b^2+1} + b)} + \frac{1}{ab(\sqrt{c^2+1} + c)} \leq \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} $$ Đáp số: Đã chứng minh.