Tìm m để A đạt min. Câu 3 (0,5 điểm). Cho parabol $(P):~y=x^2$ và đường thẳng d: $:y=5mx+4m~(m
e0).$ Tìm,m để đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A,B có hoành độ lần lượt là $x_1,x_2$,sao cho,$A=\frac{m^2}{x^2_1+5mx_2+12m}+\frac{x^2_2+5mx_1+12m}{m^2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Question

Accepted Answer

Câu 3 Để đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B, ta thay phương trình đường thẳng vào phương trình parabol: $$ x^2 = 5mx + 4m $$ $$ x^2 - 5mx - 4m = 0 $$ Điều kiện để phương trình này có hai nghiệm phân biệt là: $$ \Delta = (5m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4m) > 0 $$ $$ 25m^2 + 16m > 0 $$ $$ m(25m + 16) > 0 $$ Từ đây, ta có hai trường hợp: 1. $ m > 0 $ và $ 25m + 16 > 0 $ suy ra $ m > 0 $ 2. $ m < 0 $ và $ 25m + 16 < 0 $ suy ra $ m < -\frac{16}{25} $ Do đó, điều kiện để đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt là: $$ m > 0 \quad \text{hoặc} \quad m < -\frac{16}{25} $$ Theo định lý Vi-et, ta có: $$ x_1 + x_2 = 5m $$ $$ x_1 x_2 = -4m $$ Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $$ A = \frac{m^2}{x_1^2 + 5mx_2 + 12m} + \frac{x_2^2 + 5mx_1 + 12m}{m^2} $$ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: $$ \left( \frac{m^2}{x_1^2 + 5mx_2 + 12m} + \frac{x_2^2 + 5mx_1 + 12m}{m^2} \right) \left( m^2 + (x_1^2 + 5mx_2 + 12m) \right) \geq (m + x_2)^2 $$ Do đó: $$ A \geq \frac{(m + x_2)^2}{m^2 + x_1^2 + 5mx_2 + 12m} $$ Để tìm giá trị nhỏ nhất của $ A $, ta cần $ m + x_2 = 0 $, tức là $ x_2 = -m $. Thay $ x_2 = -m $ vào phương trình $ x_1 + x_2 = 5m $: $$ x_1 - m = 5m $$ $$ x_1 = 6m $$ Thay $ x_1 = 6m $ và $ x_2 = -m $ vào biểu thức $ A $: $$ A = \frac{m^2}{(6m)^2 + 5m(-m) + 12m} + \frac{(-m)^2 + 5m(6m) + 12m}{m^2} $$ $$ A = \frac{m^2}{36m^2 - 5m^2 + 12m} + \frac{m^2 + 30m^2 + 12m}{m^2} $$ $$ A = \frac{m^2}{31m^2 + 12m} + \frac{31m^2 + 12m}{m^2} $$ $$ A = \frac{m^2}{m(31m + 12)} + \frac{31m + 12}{m} $$ $$ A = \frac{m}{31m + 12} + \frac{31m + 12}{m} $$ Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: $$ \frac{m}{31m + 12} + \frac{31m + 12}{m} \geq 2 \sqrt{\frac{m}{31m + 12} \cdot \frac{31m + 12}{m}} = 2 $$ Dấu bằng xảy ra khi: $$ \frac{m}{31m + 12} = \frac{31m + 12}{m} $$ $$ m^2 = (31m + 12)^2 $$ $$ m = 31m + 12 \quad \text{hoặc} \quad m = -(31m + 12) $$ Giải phương trình $ m = 31m + 12 $: $$ -30m = 12 $$ $$ m = -\frac{2}{5} $$ Giải phương trình $ m = -(31m + 12) $: $$ m = -31m - 12 $$ $$ 32m = -12 $$ $$ m = -\frac{3}{8} $$ Kiểm tra điều kiện $ m > 0 $ hoặc $ m < -\frac{16}{25} $: - $ m = -\frac{2}{5} $ thỏa mãn điều kiện $ m < -\frac{16}{25} $ - $ m = -\frac{3}{8} $ không thỏa mãn điều kiện $ m < -\frac{16}{25} $ Vậy giá trị nhỏ nhất của $ A $ là 2, đạt được khi $ m = -\frac{2}{5} $. Đáp số: $ m = -\frac{2}{5} $