Giải hộ mình câu này với các bạn BÀI TẬP TỰ LUẬN 27/5,Câu 9. (1 điểm). Rút gọn biểu thức sau: $B=(\frac{2\sqrt x+3}{x-9}-\frac1{\sqrt x+3}):\frac{\sqrt x+6}{\sqrt x+3}$ (với $x\geq0$ và $x e9)$,Câu 10. (1 điểm). Gọi $x_1,x_2$ là 2 nghiệm của phương trình: $x^2-4x-3=0.$ Không giải,phương trình, tính giá trị biểu thức: $P=2x^2_1+2x^2_2-3$,Câu 11. (1 điểm) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}3x+4y=2\x-2y=4\end{array} ight.$,Câu 12. a) (1,0 điểm). Một hộp chứa 1 viên bi xanh, 1 viên bi đỏ và 1 viên bi trắng. Các,viên bi có cùng kích thước và khối lượng. An lần lượt lấy ra ngẫu nhiên từng viên bi từ trong,hộp cho đến khi hết bi. Tính xác suất của biến cố sau: "Viên bi màu xanh được lấy ra sau,cùng".,b) (1,0 điểm) Một đội xe theo kế hoạch phải chở 360 tấn hàng trong một thời gian dự định.,Do điều kiện thời tiết không thuận lợi nên mỗi ngày đội chở ít hơn 6 tấn, do đó đã hoàn thành,công việc chậm hơn 2 ngày so với dự định . Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày đội xe phải chở bao,nhiêu tấn hàng ?,Câu 13 (2,5 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy điểm M bất kì trên đoạn AC,,đường tròn đường kính CM cắt hai đường thẳng BM, BC lần lượt tại D, N.,a) Chứng minh bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn.,b) Chứng minh: $BM.BD=BN.BC$ và các đường thẳng AB, MN, CD cùng đi qua một điểm.,Câu 9. (1,0 điểm) Rút gọn biểu thức :,$P=(\frac1{x-\sqrt x}+\frac1{\sqrt x-1}):\frac{\sqrt x}{x-2\sqrt x+1}$ (với $x0,~x e1)$,Câu 10. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}3x+y=5\x-2y=-3\end{array} ight..$,Câu 11. (1,0 điểm) Giả sử phương trình $-3x^2+x+1=0$ có hai nghiệm là $x_1$ và $x_2.$ Không,giải phương trình, hãy tính giá trị biểu thức $A=x^2_1-\frac2{x_1}+x^2_2-\frac2{x_2}$,Câu 12. (2,0 điểm),a, Một hộp có 20 viên bi với kích thước và khối lượng như nhau. Bạn Ngân viết lên các viên,bi đó các số 1,2,3,...,20 ; hai viên bi khác nhau thì viết hai số khác nhau. Xét phép thử "Lấy,ngẫu nhiên một viên bi trong hộp". Tính xác suất biến cố: "Số xuất hiện trên viên bí được lấy ra,chia 7 dư 1",b) Một xe lửa cần vận chuyển một lượng hàng. Người lái xe tính rằng nếu xếp mỗi toa 15,tấn thì còn thừa lại 5 tấn. Nếu xếp mỗi toa 16 tấn thì có thể chở thêm 3 tấn.Hỏi xe lửa có mấy,toa và phải chở bao nhiêu tấn hàng?,Câu 13. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn $(AB

Question

Giải hộ mình câu này với các bạn BÀI TẬP TỰ LUẬN 27/5,Câu 9. (1 điểm). Rút gọn biểu thức sau: $B=(\frac{2\sqrt x+3}{x-9}-\frac1{\sqrt x+3}):\frac{\sqrt x+6}{\sqrt x+3}$ (với $x\geq0$ và $x
e9)$,Câu 10. (1 điểm). Gọi $x_1,x_2$ là 2 nghiệm của phương trình: $x^2-4x-3=0.$ Không giải,phương trình, tính giá trị biểu thức: $P=2x^2_1+2x^2_2-3$,Câu 11. (1 điểm) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}3x+4y=2\x-2y=4\end{array}ight.$,Câu 12. a) (1,0 điểm). Một hộp chứa 1 viên bi xanh, 1 viên bi đỏ và 1 viên bi trắng. Các,viên bi có cùng kích thước và khối lượng. An lần lượt lấy ra ngẫu nhiên từng viên bi từ trong,hộp cho đến khi hết bi. Tính xác suất của biến cố sau: "Viên bi màu xanh được lấy ra sau,cùng".,b) (1,0 điểm) Một đội xe theo kế hoạch phải chở 360 tấn hàng trong một thời gian dự định.,Do điều kiện thời tiết không thuận lợi nên mỗi ngày đội chở ít hơn 6 tấn, do đó đã hoàn thành,công việc chậm hơn 2 ngày so với dự định . Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày đội xe phải chở bao,nhiêu tấn hàng ?,Câu 13 (2,5 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy điểm M bất kì trên đoạn AC,,đường tròn đường kính CM cắt hai đường thẳng BM, BC lần lượt tại D, N.,a) Chứng minh bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn.,b) Chứng minh: $BM.BD=BN.BC$ và các đường thẳng AB, MN, CD cùng đi qua một điểm.,Câu 9. (1,0 điểm) Rút gọn biểu thức :,$P=(\frac1{x-\sqrt x}+\frac1{\sqrt x-1}):\frac{\sqrt x}{x-2\sqrt x+1}$ (với $x>0,~x
e1)$,Câu 10. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}3x+y=5\x-2y=-3\end{array}ight..$,Câu 11. (1,0 điểm) Giả sử phương trình $-3x^2+x+1=0$ có hai nghiệm là $x_1$ và $x_2.$ Không,giải phương trình, hãy tính giá trị biểu thức $A=x^2_1-\frac2{x_1}+x^2_2-\frac2{x_2}$,Câu 12. (2,0 điểm),a, Một hộp có 20 viên bi với kích thước và khối lượng như nhau. Bạn Ngân viết lên các viên,bi đó các số 1,2,3,...,20 ; hai viên bi khác nhau thì viết hai số khác nhau. Xét phép thử "Lấy,ngẫu nhiên một viên bi trong hộp". Tính xác suất biến cố: "Số xuất hiện trên viên bí được lấy ra,chia 7 dư 1",b) Một xe lửa cần vận chuyển một lượng hàng. Người lái xe tính rằng nếu xếp mỗi toa 15,tấn thì còn thừa lại 5 tấn. Nếu xếp mỗi toa 16 tấn thì có thể chở thêm 3 tấn.Hỏi xe lửa có mấy,toa và phải chở bao nhiêu tấn hàng?,Câu 13. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn $(AB<AC)$ nội tiếp đường tròng (O). Các,đường cao CD và BK cắt nhau tại trực tâm H của tam giác ABC .,a) Chứng minh 4 điểm A, D, H, K nằm trên một đường tròn.,b) Kẻ đường kính AN, chứng minh : BHCN là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của,BC, chứng minh $OM=1/2AH$ và $ABK=OCB.$,Câu 14. (1,0 điểm),a) Một công ty Container cần thiết kế các thùng đựng hàng hình hộp chữ nhật, không nắp,,có đáy là hình vuông, thể tích là $108~m^3.$ Để tốn ít nguyên vật liệu nhất thì ta cần thiết kế các,cạnh đáy của hình hộp bằng bao nhiêu?

Accepted Answer

Câu 9.
Điều kiện xác định: $ x \geq 0 $ và $ x \neq 9 $.

Bước 1: Rút gọn từng phân thức trong biểu thức $ B $.

Ta có:
$$ B = \left( \frac{2\sqrt{x} + 3}{x - 9} - \frac{1}{\sqrt{x} + 3} \right) : \frac{\sqrt{x} + 6}{\sqrt{x} + 3} $$

Bước 2: Quy đồng mẫu số của các phân thức trong ngoặc đơn.

Phân thức $\frac{2\sqrt{x} + 3}{x - 9}$ có thể viết lại dưới dạng:
$$ \frac{2\sqrt{x} + 3}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} $$

Phân thức $\frac{1}{\sqrt{x} + 3}$ có thể viết lại dưới dạng:
$$ \frac{1}{\sqrt{x} + 3} = \frac{\sqrt{x} - 3}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} $$

Bước 3: Thực hiện phép trừ các phân thức đã quy đồng mẫu số.

$$ \frac{2\sqrt{x} + 3}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} - \frac{\sqrt{x} - 3}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} = \frac{(2\sqrt{x} + 3) - (\sqrt{x} - 3)}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} $$
$$ = \frac{2\sqrt{x} + 3 - \sqrt{x} + 3}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} $$
$$ = \frac{\sqrt{x} + 6}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} $$

Bước 4: Chia phân thức vừa rút gọn cho phân thức còn lại.

$$ B = \frac{\sqrt{x} + 6}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} : \frac{\sqrt{x} + 6}{\sqrt{x} + 3} $$

Bước 5: Nhân với nghịch đảo của phân thức chia.

$$ B = \frac{\sqrt{x} + 6}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} \times \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 6} $$

Bước 6: Rút gọn biểu thức.

$$ B = \frac{1}{\sqrt{x} - 3} $$

Vậy biểu thức $ B $ đã được rút gọn thành:
$$ B = \frac{1}{\sqrt{x} - 3} $$

Câu 10.
Theo bài ra, $x_1$ và $x_2$ là hai nghiệm của phương trình $x^2 - 4x - 3 = 0$. Ta sẽ sử dụng hệ thức Viète để tìm giá trị của biểu thức $P = 2x_1^2 + 2x_2^2 - 3$.

Theo hệ thức Viète:
- Tổng của hai nghiệm: $x_1 + x_2 = 4$
- Tích của hai nghiệm: $x_1 \cdot x_2 = -3$

Ta cần tính $P = 2x_1^2 + 2x_2^2 - 3$. Trước tiên, ta sẽ tính $x_1^2 + x_2^2$.

Biểu thức $(x_1 + x_2)^2$ có thể viết thành:
$$ (x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + x_2^2 + 2x_1x_2 $$

Thay vào giá trị theo hệ thức Viète:
$$ 4^2 = x_1^2 + x_2^2 + 2(-3) $$
$$ 16 = x_1^2 + x_2^2 - 6 $$
$$ x_1^2 + x_2^2 = 16 + 6 $$
$$ x_1^2 + x_2^2 = 22 $$

Bây giờ, ta thay vào biểu thức $P$:
$$ P = 2(x_1^2 + x_2^2) - 3 $$
$$ P = 2(22) - 3 $$
$$ P = 44 - 3 $$
$$ P = 41 $$

Vậy giá trị của biểu thức $P$ là 41.

Câu 11.
Để giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}3x+4y=2\x-2y=4\end{array}\right.$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Nhân phương trình thứ hai với 2 để dễ dàng trừ hoặc cộng với phương trình thứ nhất:
$$ 
2(x - 2y) = 2 \times 4 \
2x - 4y = 8 
$$

Bước 2: Viết lại hệ phương trình mới:
$$ 
\left\{\begin{array}{l}
3x + 4y = 2 \
2x - 4y = 8
\end{array}\right.
$$

Bước 3: Cộng hai phương trình này lại để loại bỏ biến $ y $:
$$ 
(3x + 4y) + (2x - 4y) = 2 + 8 \
3x + 2x = 10 \
5x = 10 \
x = 2 
$$

Bước 4: Thay giá trị $ x = 2 $ vào phương trình thứ hai để tìm giá trị của $ y $:
$$ 
x - 2y = 4 \
2 - 2y = 4 \
-2y = 4 - 2 \
-2y = 2 \
y = -1 
$$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $ x = 2 $ và $ y = -1 $.

Đáp số: $ x = 2 $, $ y = -1 $.

Câu 12.
a) Xác suất của biến cố "Viên bi màu xanh được lấy ra sau cùng" là $\frac{1}{3}$.

b) Gọi theo kế hoạch mỗi ngày đội xe phải chở x tấn hàng (x > 0).

Thực tế mỗi ngày đội xe chở số tấn hàng là: x - 6 (tấn).

Theo đề bài, ta có phương trình:

$\frac{360}{x} + 2 = \frac{360}{x - 6}$

Giải phương trình này, ta tìm được x = 30.

Vậy theo kế hoạch mỗi ngày đội xe phải chở 30 tấn hàng.

Câu 13
a) Ta có $\widehat{CDM}=\widehat{CNM}=90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường kính)
$\Rightarrow \widehat{BDC}+\widehat{BDA}=180^\circ$
$\Rightarrow$ Bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn.
b) Ta có $\widehat{BDC}=\widehat{BAC}=90^\circ$ (cùng chắn cung BC)
$\Rightarrow \Delta BDC$ vuông tại D
$\Rightarrow BD^2=BN.BC$ (tính chất đường cao trong tam giác vuông)
Ta có $\widehat{ABD}=\widehat{ACD}$ (cùng chắn cung AD)
$\widehat{ABD}=\widehat{CBN}$ (cùng phụ với $\widehat{DBN}$)
$\Rightarrow \widehat{ACD}=\widehat{CBN}$
$\Rightarrow \Delta ACD$ đồng dạng với $\Delta CBN$ (g-g)
$\Rightarrow \frac{AD}{CN}=\frac{CD}{BC}$
$\Rightarrow AD.BC=CN.CD$
$\Rightarrow AD.BC=BN.CD$ (CN = BN)
$\Rightarrow \frac{AD}{BN}=\frac{CD}{BC}$
$\Rightarrow \Delta ABD$ đồng dạng với $\Delta CBD$ (c-a-c)
$\Rightarrow \widehat{ABD}=\widehat{CBD}$
$\Rightarrow$ tia BD là tia phân giác của góc ABC
$\Rightarrow \frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DC}$
$\Rightarrow AB.DC=AD.BC$
$\Rightarrow AB.DC=BN.CD$ (AD.BC = BN.CD)
$\Rightarrow \frac{AB}{BN}=\frac{CD}{DC}$
$\Rightarrow \Delta ABD$ đồng dạng với $\Delta BND$ (c-a-c)
$\Rightarrow \widehat{BAD}=\widehat{BND}$
$\Rightarrow$ Các đường thẳng AB, MN, CD cùng đi qua một điểm.

Câu 9.
Điều kiện xác định: $ x > 0, x \neq 1 $.

Bước 1: Rút gọn từng phân thức trong biểu thức $ P $.

Ta có:
$$ P = \left( \frac{1}{x - \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1} \right) : \frac{\sqrt{x}}{x - 2\sqrt{x} + 1} $$

Bước 2: Tìm mẫu chung và thực hiện phép cộng các phân thức trong ngoặc.

Mẫu chung của $ x - \sqrt{x} $ và $ \sqrt{x} - 1 $ là $ (x - \sqrt{x})(\sqrt{x} - 1) $.

Ta có:
$$ \frac{1}{x - \sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x} - 1}{(x - \sqrt{x})(\sqrt{x} - 1)} $$
$$ \frac{1}{\sqrt{x} - 1} = \frac{x - \sqrt{x}}{(x - \sqrt{x})(\sqrt{x} - 1)} $$

Do đó:
$$ \frac{1}{x - \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1} = \frac{\sqrt{x} - 1 + x - \sqrt{x}}{(x - \sqrt{x})(\sqrt{x} - 1)} = \frac{x - 1}{(x - \sqrt{x})(\sqrt{x} - 1)} $$

Bước 3: Rút gọn biểu thức $ \frac{\sqrt{x}}{x - 2\sqrt{x} + 1} $.

Ta nhận thấy rằng:
$$ x - 2\sqrt{x} + 1 = (\sqrt{x} - 1)^2 $$

Do đó:
$$ \frac{\sqrt{x}}{x - 2\sqrt{x} + 1} = \frac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1)^2} $$

Bước 4: Thực hiện phép chia các phân thức.

$$ P = \left( \frac{x - 1}{(x - \sqrt{x})(\sqrt{x} - 1)} \right) : \left( \frac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1)^2} \right) $$

Phép chia các phân thức:
$$ P = \frac{x - 1}{(x - \sqrt{x})(\sqrt{x} - 1)} \times \frac{(\sqrt{x} - 1)^2}{\sqrt{x}} $$

Bước 5: Rút gọn biểu thức.

$$ P = \frac{(x - 1)(\sqrt{x} - 1)}{(x - \sqrt{x})\sqrt{x}} $$

Nhận thấy rằng $ x - \sqrt{x} = \sqrt{x}(\sqrt{x} - 1) $:

$$ P = \frac{(x - 1)(\sqrt{x} - 1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)\sqrt{x}} = \frac{x - 1}{x} $$

Vậy biểu thức rút gọn là:
$$ P = \frac{x - 1}{x} $$

Câu 10.
Để giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}3x+y=5\x-2y=-3\end{array}\right.$, ta sẽ sử dụng phương pháp cộng đại số.

Bước 1: Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 2 để dễ dàng cộng trừ với phương trình thứ hai:
$$ 
2(3x + y) = 2 \cdot 5 \
6x + 2y = 10 
$$

Bước 2: Viết lại hệ phương trình mới:
$$ 
\left\{
\begin{array}{l}
6x + 2y = 10 \
x - 2y = -3
\end{array}
\right.
$$

Bước 3: Cộng hai phương trình này lại:
$$ 
(6x + 2y) + (x - 2y) = 10 + (-3) \
6x + x + 2y - 2y = 7 \
7x = 7 \
x = 1 
$$

Bước 4: Thay giá trị $ x = 1 $ vào phương trình thứ nhất để tìm $ y $:
$$ 
3(1) + y = 5 \
3 + y = 5 \
y = 5 - 3 \
y = 2 
$$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $ x = 1 $ và $ y = 2 $.

Đáp số: $ x = 1 $, $ y = 2 $.

Câu 11.
Theo định lý Vi-et, ta có:
$$ x_1 + x_2 = \frac{1}{3} $$
$$ x_1 \cdot x_2 = -\frac{1}{3} $$

Biểu thức $ A $ được viết lại thành:
$$ A = x_1^2 - \frac{2}{x_1} + x_2^2 - \frac{2}{x_2} $$

Nhóm các hạng tử lại:
$$ A = (x_1^2 + x_2^2) - \left( \frac{2}{x_1} + \frac{2}{x_2} \right) $$

Tính $ x_1^2 + x_2^2 $:
$$ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 $$
$$ x_1^2 + x_2^2 = \left( \frac{1}{3} \right)^2 - 2 \left( -\frac{1}{3} \right) $$
$$ x_1^2 + x_2^2 = \frac{1}{9} + \frac{2}{3} $$
$$ x_1^2 + x_2^2 = \frac{1}{9} + \frac{6}{9} $$
$$ x_1^2 + x_2^2 = \frac{7}{9} $$

Tính $ \frac{2}{x_1} + \frac{2}{x_2} $:
$$ \frac{2}{x_1} + \frac{2}{x_2} = 2 \left( \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} \right) $$
$$ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} $$
$$ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{\frac{1}{3}}{-\frac{1}{3}} $$
$$ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = -1 $$
$$ \frac{2}{x_1} + \frac{2}{x_2} = 2 \times (-1) $$
$$ \frac{2}{x_1} + \frac{2}{x_2} = -2 $$

Thay vào biểu thức $ A $:
$$ A = \frac{7}{9} - (-2) $$
$$ A = \frac{7}{9} + 2 $$
$$ A = \frac{7}{9} + \frac{18}{9} $$
$$ A = \frac{25}{9} $$

Vậy giá trị của biểu thức $ A $ là:
$$ \boxed{\frac{25}{9}} $$

Câu 12.
a) Để tính xác suất của biến cố "Số xuất hiện trên viên bi được lấy ra chia 7 dư 1", ta cần xác định số lượng các số từ 1 đến 20 mà khi chia cho 7 dư 1.

Các số chia 7 dư 1 là: 1, 8, 15.

Vậy có 3 số thỏa mãn điều kiện trên.

Xác suất của biến cố này là:
$$ P = \frac{\text{số trường hợp thuận lợi}}{\text{số trường hợp khả năng}} = \frac{3}{20} $$

b) Gọi số toa xe lửa là $ x $ và tổng số tấn hàng cần chở là $ y $.

Theo đề bài, ta có hai phương trình:
1. $ 15x + 5 = y $
2. $ 16x - 3 = y $

Bằng cách đặt hai phương trình này bằng nhau, ta có:
$$ 15x + 5 = 16x - 3 $$

Giải phương trình này:
$$ 15x + 5 = 16x - 3 $$
$$ 5 + 3 = 16x - 15x $$
$$ 8 = x $$

Vậy số toa xe lửa là 8.

Thay $ x = 8 $ vào phương trình $ 15x + 5 = y $:
$$ y = 15 \times 8 + 5 = 120 + 5 = 125 $$

Vậy xe lửa có 8 toa và phải chở 125 tấn hàng.

Đáp số:
a) Xác suất: $ \frac{3}{20} $
b) Số toa xe lửa: 8, Tổng số tấn hàng: 125 tấn.

Câu 13.
a) Ta có $\widehat{ADH}=\widehat{AKH}=90^\circ$. 
Do đó, 4 điểm A, D, H, K nằm trên một đường tròn (giao của các đường cao).
b) Ta có $\widehat{BAN}=\widehat{BCN}=90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). 
Do đó, BHCN là hình bình hành (hai góc đối bằng nhau và bằng 90°).
c) Ta có $\widehat{ABK}=\widehat{ACN}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AN). 
Mặt khác, ta có $\widehat{ACN}=\widehat{OCB}$ (tổng của hai góc kề bù bằng 180°). 
Vậy $\widehat{ABK}=\widehat{OCB}$. 
Ta có $\widehat{ABK}=\widehat{ACH}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AH). 
Mặt khác, ta có $\widehat{ACH}=\widehat{OCH}$ (tổng của hai góc kề bù bằng 180°). 
Vậy $\widehat{ABK}=\widehat{OCH}$. 
Từ đó ta có $\widehat{OCH}=\widehat{OCB}$. 
Do đó, O là trung điểm của CH (góc ở đỉnh bằng nhau và bằng 90°). 
Vậy $OM=\frac{1}{2}AH$.

Câu 14.
Để tốn ít nguyên vật liệu nhất, ta cần tìm kích thước của hình hộp chữ nhật sao cho diện tích toàn phần (không tính nắp) là nhỏ nhất.

Gọi cạnh đáy của hình hộp chữ nhật là $a$ (m), chiều cao là $h$ (m). Ta có:
$$ a^2 \cdot h = 108 $$

Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật không nắp là:
$$ S = a^2 + 4ah $$

Thay $h = \frac{108}{a^2}$ vào biểu thức trên, ta có:
$$ S = a^2 + 4a \left( \frac{108}{a^2} \right) = a^2 + \frac{432}{a} $$

Để tìm giá trị nhỏ nhất của $S$, ta sử dụng phương pháp khảo sát hàm số hoặc phương pháp thử nghiệm các giá trị để tìm giá trị nhỏ nhất.

Ta thử các giá trị của $a$ để tìm giá trị nhỏ nhất của $S$:
- Nếu $a = 6$, thì $h = \frac{108}{6^2} = 3$
  $$ S = 6^2 + 4 \cdot 6 \cdot 3 = 36 + 72 = 108 $$

- Nếu $a = 5$, thì $h = \frac{108}{5^2} = \frac{108}{25} = 4.32$
  $$ S = 5^2 + 4 \cdot 5 \cdot 4.32 = 25 + 86.4 = 111.4 $$

- Nếu $a = 7$, thì $h = \frac{108}{7^2} = \frac{108}{49} \approx 2.2$
  $$ S = 7^2 + 4 \cdot 7 \cdot 2.2 = 49 + 61.6 = 110.6 $$

Qua các phép tính trên, ta thấy rằng khi $a = 6$, diện tích toàn phần $S$ nhỏ nhất là 108.

Vậy để tốn ít nguyên vật liệu nhất, ta cần thiết kế các cạnh đáy của hình hộp chữ nhật bằng 6m.

Đáp số: 6m