giupppp toiii Câu 4. Bút của một bảng vẽ điện tử được để trong một chiếc giá như hình vẽ. Biết giá để,bút là một khối tròn xoay có mặt cắt qua trục có các kích thước như hình vẽ. Biết hai bên,của mặt cắt là một nửa hình tròn đường kính 3 cm, phần bị khuyết ở giữa là phần để bút,có dạng là một đường parabol. Tính thể tích của giá đứng bút (đơn vị $cm^3$ làm tròn đến,hàng phần chục).,

Question

Accepted Answer

Câu 4.
Để tính thể tích của giá đứng bút, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm phương trình của đường parabol:
   - Đường parabol đi qua điểm $(0, 0)$ và $(3, 0)$.
   - Ta giả sử phương trình của đường parabol là $y = ax^2 + bx + c$.
   - Vì đi qua $(0, 0)$ nên $c = 0$.
   - Vì đi qua $(3, 0)$ nên $0 = 9a + 3b$.
   - Vì đi qua $(1.5, 1.5)$ nên $1.5 = 2.25a + 1.5b$.

Giải hệ phương trình:
   $$
   \begin{cases}
   9a + 3b = 0 \
   2.25a + 1.5b = 1.5
   \end{cases}
   $$

Từ phương trình đầu tiên, ta có $b = -3a$. Thay vào phương trình thứ hai:
   $$
   2.25a + 1.5(-3a) = 1.5 \
   2.25a - 4.5a = 1.5 \
   -2.25a = 1.5 \
   a = -\frac{1.5}{2.25} = -\frac{2}{3}
   $$
   Vậy $b = -3 \times -\frac{2}{3} = 2$.

Phương trình của đường parabol là:
   $$
   y = -\frac{2}{3}x^2 + 2x
   $$

2. Tính diện tích phần bị khuyết:
   Diện tích phần bị khuyết là diện tích dưới đường parabol từ $x = 0$ đến $x = 3$:
   $$
   A_{parabol} = \int_{0}^{3} \left( -\frac{2}{3}x^2 + 2x \right) dx
   $$
   Tính tích phân:
   $$
   A_{parabol} = \left[ -\frac{2}{9}x^3 + x^2 \right]_{0}^{3} = \left( -\frac{2}{9}(3)^3 + (3)^2 \right) - \left( -\frac{2}{9}(0)^3 + (0)^2 \right)
   $$
   $$
   A_{parabol} = \left( -\frac{2}{9} \cdot 27 + 9 \right) = \left( -6 + 9 \right) = 3 \text{ cm}^2
   $$

3. Tính diện tích toàn bộ hình tròn:
   Diện tích toàn bộ hình tròn có đường kính 3 cm:
   $$
   A_{hinhtron} = \pi \left( \frac{3}{2} \right)^2 = \frac{9\pi}{4} \text{ cm}^2
   $$

4. Tính diện tích phần còn lại:
   Diện tích phần còn lại là:
   $$
   A_{phanconlai} = 2 \times \left( \frac{9\pi}{4} - 3 \right) = \frac{9\pi}{2} - 6 \text{ cm}^2
   $$

5. Tính thể tích khối tròn xoay:
   Thể tích khối tròn xoay là:
   $$
   V = \pi \times A_{phanconlai} \times 3 = \pi \times \left( \frac{9\pi}{2} - 6 \right) \times 3 = \frac{27\pi^2}{2} - 18\pi \approx 113.1 \text{ cm}^3
   $$

Vậy thể tích của giá đứng bút là khoảng 113.1 cm³.