cứuuuu trả lời đúng sai 2. [0vĐ] Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu,$(S):~x^2+y^2+z^2-2x+4z+1=0$,,và đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=2-t\y=t\z=m+t.\end{array} ight.$ Biết d cắt (S) tại hai điểm phân,biệt A và B.,a) Mặt cầu (S) có tâm $I(1;0;-2)$ và bán kính $R=4.$,3. ỗ Văn ứứ Đề Tinh Tú Tenschool lần 18 môn Toán Trang 3,b) Nếu $m\in\mathbb{Z}$ thì có đúng 2 giá trị của m thỏa mãn.,c) Nếu các mặt phẳng tiếp diện của A và B vuông góc với nhau thì tổng tất cả các giá trị có,thể có của m là -5.,d) Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn AB là $\frac{\sqrt2}2.$,3. [0vĐ] Một mô hình đĩa bay được thiết kế mô phỏng bằng máy tính bằng cách quay hình phẳng,(H) giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x,y=-\sqrt x$ và đường thẳng $x=2$ quanh trục hoành (hình,vẽ). Biết mỗi đơn vị trên hệ trục tọa độ dài 1 dm., ,a) Chiều cao của đĩa bay là 2 dm.,b) Đĩa bay có thể chia làm 2 phần, với phần bên dưới là một hình chóp cụt có chiều cao bằng,1 dm.,c) Đáy của mô hình là một đường tròn có đường kính bằng $4+2\sqrt2~dm.$,d) Thể tích của mô hình lớn hơn $8,5~dm^3.$,4. [0v0] Trong một thùng rỗng, người ta đặt vào đó 3 quả bóng gồm 2 màu là đỏ hoặc đen. Màu,sắc của mỗi quả bóng được xác định bằng cách tung một con xúc xắc 3 lần liên tiếp. Nếu xuất,hiện mặt có số chấm nhỏ hơn 3 thì một quả bóng màu đỏ được đặt vào thùng, nếu không thì,một quả bóng màu đen được chọn., ,a) Xác suất để quả bóng thứ nhất đặt vào thùng là bóng màu đen bằng 1/3.,b) Xác suất để hai trong ba quả bóng được đặt vào là màu đỏ là 2/9.,c) Biết rằng hai quả bóng màu đỏ và một quả bóng màu đen được đặt vào thùng, xác suất để,quả bóng màu đen được bỏ vào cuối cùng là 2/3.,d) Hai trong số ba quả bóng được lấy ngẫu nhiên ra khỏi thùng, xác suất để cả hai quả bóng,được lấy ra đều màu đen là 4/9,PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.,1. [0vĐ] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA vuông góc với mặt phẳng,(ABCD) và $SA=2a.$ Gọi G là trọng tâm tam giác SAB,, là góc tạo bởi đường thẳng CG và

Question

cứuuuu trả lời đúng sai 2. [0vĐ] Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu,$(S):~x^2+y^2+z^2-2x+4z+1=0$,

,và đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=2-t\y=t\z=m+t.\end{array} ight.$ Biết d cắt (S) tại hai điểm phân,biệt A và B.,a) Mặt cầu (S) có tâm $I(1;0;-2)$ và bán kính $R=4.$,3. ỗ Văn ứứ Đề Tinh Tú Tenschool lần 18 môn Toán Trang 3,b) Nếu $m\in\mathbb{Z}$ thì có đúng 2 giá trị của m thỏa mãn.,c) Nếu các mặt phẳng tiếp diện của A và B vuông góc với nhau thì tổng tất cả các giá trị có,thể có của m là -5.,d) Giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn AB là $\frac{\sqrt2}2.$,3. [0vĐ] Một mô hình đĩa bay được thiết kế mô phỏng bằng máy tính bằng cách quay hình phẳng,(H) giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x,y=-\sqrt x$ và đường thẳng $x=2$ quanh trục hoành (hình,vẽ). Biết mỗi đơn vị trên hệ trục tọa độ dài 1 dm.,

,a) Chiều cao của đĩa bay là 2 dm.,b) Đĩa bay có thể chia làm 2 phần, với phần bên dưới là một hình chóp cụt có chiều cao bằng,1 dm.,c) Đáy của mô hình là một đường tròn có đường kính bằng $4+2\sqrt2~dm.$,d) Thể tích của mô hình lớn hơn $8,5~dm^3.$,4. [0v0] Trong một thùng rỗng, người ta đặt vào đó 3 quả bóng gồm 2 màu là đỏ hoặc đen. Màu,sắc của mỗi quả bóng được xác định bằng cách tung một con xúc xắc 3 lần liên tiếp. Nếu xuất,hiện mặt có số chấm nhỏ hơn 3 thì một quả bóng màu đỏ được đặt vào thùng, nếu không thì,một quả bóng màu đen được chọn.,

,a) Xác suất để quả bóng thứ nhất đặt vào thùng là bóng màu đen bằng 1/3.,b) Xác suất để hai trong ba quả bóng được đặt vào là màu đỏ là 2/9.,c) Biết rằng hai quả bóng màu đỏ và một quả bóng màu đen được đặt vào thùng, xác suất để,quả bóng màu đen được bỏ vào cuối cùng là 2/3.,d) Hai trong số ba quả bóng được lấy ngẫu nhiên ra khỏi thùng, xác suất để cả hai quả bóng,được lấy ra đều màu đen là 4/9,PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.,1. [0vĐ] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA vuông góc với mặt phẳng,(ABCD) và $SA=2a.$ Gọi G là trọng tâm tam giác SAB,, là góc tạo bởi đường thẳng CG và

Accepted Answer

Bài 2: Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ và đường thẳng $d$.

Đầu tiên, xác định tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu $(S)$.

Phương trình mặt cầu $(S)$ là $x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4z + 1 = 0$.

Để đưa về dạng chính tắc $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$, ta hoàn thiện bình phương:

$(x^2 - 2x + 1) + y^2 + (z^2 + 4z + 4) + 1 - 1 - 4 = 0$

$(x-1)^2 + y^2 + (z+2)^2 = 4$

Vậy, mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1; 0; -2)$ và bán kính $R = \sqrt{4} = 2$.

Đường thẳng $d$ có phương trình tham số: $\begin{cases} x = 2-t \ y = t \ z = m+t \end{cases}$.

Từ phương trình tham số, ta có thể xác định một điểm thuộc đường thẳng $d$ và vectơ chỉ phương của $d$.

Chọn $t=0$, ta được điểm $A_d(2; 0; m)$ thuộc $d$.

Vectơ chỉ phương của $d$ là $\vec{u_d} = (-1; 1; 1)$.

Để đường thẳng $d$ tiếp xúc với mặt cầu $(S)$, khoảng cách từ tâm $I$ của mặt cầu đến đường thẳng $d$ phải bằng bán kính $R$.

Công thức khoảng cách từ điểm $I$ đến đường thẳng $d$: $D(I, d) = \frac{|\vec{IA_d} imes \vec{u_d}|}{|\vec{u_d}|}$.

Tính vectơ $\vec{IA_d}$:

$\vec{IA_d} = A_d - I = (2-1; 0-0; m-(-2)) = (1; 0; m+2)$.

Tính tích có hướng $\vec{IA_d} imes \vec{u_d}$:

$\vec{IA_d} imes \vec{u_d} = (1; 0; m+2) imes (-1; 1; 1)$

$= (0 \cdot 1 - (m+2) \cdot 1; (m+2) \cdot (-1) - 1 \cdot 1; 1 \cdot 1 - 0 \cdot (-1))$

$= (-(m+2); -(m+2)-1; 1)$

$= (-(m+2); -(m+3); 1)$.

Tính độ dài $|\vec{IA_d} imes \vec{u_d}|$:

$|\vec{IA_d} imes \vec{u_d}| = \sqrt{(-(m+2))^2 + (-(m+3))^2 + 1^2}$

$= \sqrt{(m+2)^2 + (m+3)^2 + 1}$

$= \sqrt{m^2 + 4m + 4 + m^2 + 6m + 9 + 1}$

$= \sqrt{2m^2 + 10m + 14}$.

Tính độ dài $|\vec{u_d}|$:

$|\vec{u_d}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3}$.

Áp dụng điều kiện tiếp xúc: $D(I, d) = R$:

$\frac{\sqrt{2m^2 + 10m + 14}}{\sqrt{3}} = 2$

$\sqrt{2m^2 + 10m + 14} = 2\sqrt{3}$

Bình phương hai vế:

$2m^2 + 10m + 14 = (2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$

$2m^2 + 10m + 14 - 12 = 0$

$2m^2 + 10m + 2 = 0$

Chia cả hai vế cho 2:

$m^2 + 5m + 1 = 0$.

Giải phương trình bậc hai cho $m$:

Sử dụng công thức nghiệm: $m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$m = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

$m = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 4}}{2}$

$m = \frac{-5 \pm \sqrt{21}}{2}$.

Có hai giá trị của $m$ để đường thẳng $d$ tiếp xúc với mặt cầu $(S)$.

Đánh giá các phát biểu:

a) Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;0;-2)$ và bán kính $R=4$.

* Từ tính toán trên, mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;0;-2)$ và bán kính $R=2$.

* Phát biểu này sai vì bán kính $R=2$, không phải $R=4$.

b) Biết $m \in \mathbb{Z}$ thì có đúng 2 giá trị của $m$ thỏa mãn.

* Hai giá trị của $m$ là $m_1 = \frac{-5 + \sqrt{21}}{2}$ và $m_2 = \frac{-5 - \sqrt{21}}{2}$.

* Giá trị của $\sqrt{21}$ nằm giữa $\sqrt{16}=4$ và $\sqrt{25}=5$, tức là $\sqrt{21} \approx 4.58$.

* $m_1 \approx \frac{-5 + 4.58}{2} = \frac{-0.42}{2} = -0.21$. Đây không phải số nguyên.

* $m_2 \approx \frac{-5 - 4.58}{2} = \frac{-9.58}{2} = -4.79$. Đây không phải số nguyên.

* Do đó, không có giá trị nguyên nào của $m$ thỏa mãn điều kiện đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu.

* Phát biểu này sai vì không có giá trị nguyên nào của $m$ thỏa mãn.

c) Nếu các mặt phẳng tiếp diện của A và B vuông góc với nhau thì tổng tất cả các giá trị $m$ có thể của $m$ là $-5$.

* Phát biểu này không liên quan trực tiếp đến việc tìm $m$ từ điều kiện đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu. "Các mặt phẳng tiếp diện của A và B" là một cách diễn đạt mơ hồ trong ngữ cảnh này. Nếu nó là một câu hỏi độc lập về hai mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu vuông góc nhau, thì nó không liên quan đến $m$ của đường thẳng $d$. Nếu nó đề cập đến các mặt phẳng tiếp diện *tại điểm tiếp xúc của đường thẳng d*, thì cũng không có khái niệm "hai mặt phẳng tiếp diện của A và B" vuông góc với nhau từ một đường thẳng. Giả sử đây là một câu hỏi khác trong cùng một đề thi không liên quan đến $m$ đã tìm được. Trong phạm vi yêu cầu chỉ liên quan đến $m$ cho đường thẳng tiếp xúc, chúng ta đã có $m^2+5m+1=0$. Tổng các giá trị của $m$ theo công thức Viète là $m_1+m_2 = -5$. Tuy nhiên, phát biểu này gắn với điều kiện "nếu các mặt phẳng tiếp diện của A và B vuông góc với nhau", điều kiện này không được đề cập hay suy ra từ bài toán gốc về đường thẳng tiếp xúc. Do đó, không thể đánh giá tính đúng sai của phát biểu này dựa trên thông tin hiện có.

---

Bài 3: Một mô hình đĩa bay được thiết kế mô phỏng bằng máy tính bằng cách quay hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x$, $y=-\sqrt{x}$ và đường thẳng $x=2$ quanh trục hoành.

Phân tích hình phẳng $(H)$:

Hình phẳng $(H)$ được giới hạn bởi:

* Đường $y=x$: là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ.

* Đường $y=-\sqrt{x}$: là nhánh dưới của parabol $y^2=x$ (với $y \le 0$).

* Đường thẳng $x=2$: là đường thẳng đứng.

* Trục hoành ($y=0$).

Hình phẳng này nằm trong góc phần tư thứ nhất (giữa $y=x$ và trục hoành) và góc phần tư thứ tư (giữa $y=-\sqrt{x}$ và trục hoành), trong khoảng $x \in [0, 2]$.

Đánh giá các phát biểu:

a) Chiều cao của đĩa bay là $2$ $dm$

* Mô hình đĩa bay được tạo ra bằng cách quay hình phẳng $(H)$ quanh trục hoành.

* Hình phẳng $(H)$ kéo dài từ $x=0$ đến $x=2$ trên trục hoành.

* Do đó, "chiều cao" (hay chiều dài) của mô hình theo trục quay là khoảng cách giữa hai mặt cắt tại $x=0$ và $x=2$.

* Chiều cao = $2 - 0 = 2$ dm.

* Phát biểu này Đúng.

b) Đĩa bay có thể chia làm 2 phần, với phần bên dưới là một chóp cụt có chiều cao bằng $1$ $dm$

* Phần dưới của hình phẳng $(H)$ được giới hạn bởi $y=-\sqrt{x}$ và trục hoành. Khi quay phần này quanh trục hoành, nó tạo ra một vật thể có bề mặt cong (dạng paraboloid), không phải là chóp cụt (frustum of a cone). Một chóp cụt được tạo ra khi quay một hình thang vuông (hoặc một phần của hình thang) quanh một trục song song với cạnh không song song của nó, và các đường sinh phải là đường thẳng (tức là hàm số tạo ra nó phải là tuyến tính). Hàm $y=-\sqrt{x}$ không phải là hàm tuyến tính.

* Phát biểu này Sai.

c) Đáy của mô hình là một đường tròn có đường kính $4 + 2\sqrt{2}$ $dm$

* "Đáy của mô hình" thường ám chỉ phần lớn nhất của vật thể. Trong trường hợp này, nó sẽ là mặt cắt tại $x=2$.

* Tại $x=2$:

* Điểm trên đường $y=x$ là $(2, 2)$. Bán kính $R_1 = |2| = 2$.

* Điểm trên đường $y=-\sqrt{x}$ là $(2, -\sqrt{2})$. Bán kính $R_2 = |-\sqrt{2}| = \sqrt{2}$.

* Mô hình được tạo ra bằng cách quay toàn bộ vùng $(H)$, tức là vùng giữa $y=x$ và $y=-\sqrt{x}$.

* Mặt cắt lớn nhất của mô hình sẽ là hình tròn lớn nhất được tạo ra. Tại $x=2$, hình tròn ngoài cùng được tạo bởi $y=x$ có bán kính $2$ dm. Hình tròn bên trong được tạo bởi $y=-\sqrt{x}$ có bán kính $\sqrt{2}$ dm.

* Đường kính của mặt ngoài cùng tại $x=2$ là $2 imes R_1 = 2 imes 2 = 4$ dm.

* Đường kính $4 + 2\sqrt{2}$ dm không tương ứng với bất kỳ kích thước hình học nào hợp lý của mô hình này (ví dụ, nó không phải là tổng các bán kính hoặc đường kính).

* Phát biểu này Sai.

d) Thể tích của mô hình lớn hơn $8,5$ $dm^3$

* Thể tích của vật thể tròn xoay quanh trục hoành được tính bằng phương pháp đĩa/vòng đệm: $V = \pi \int_a^b (R_{ngoai}^2 - R_{trong}^2) dx$.

* Trong trường hợp này, $R_{ngoai} = x$ (từ $y=x$) và $R_{trong} = |-\sqrt{x}| = \sqrt{x}$ (từ $y=-\sqrt{x}$).

* $V = \pi \int_0^2 (x^2 - (\sqrt{x})^2) dx$

* $V = \pi \int_0^2 (x^2 - x) dx$

* Tính tích phân:

$V = \pi \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} ight]_0^2$

$V = \pi \left( \left( \frac{2^3}{3} - \frac{2^2}{2} ight) - \left( \frac{0^3}{3} - \frac{0^2}{2} ight) ight)$

$V = \pi \left( \frac{8}{3} - \frac{4}{2} ight)$

$V = \pi \left( \frac{8}{3} - 2 ight)$

$V = \pi \left( \frac{8}{3} - \frac{6}{3} ight)$

$V = \frac{2\pi}{3}$ dm$^3$.

* Giá trị xấp xỉ của $V$: $\pi \approx 3.14159$.

$V \approx \frac{2 imes 3.14159}{3} \approx \frac{6.28318}{3} \approx 2.094$ dm$^3$.

* So sánh với 8,5 dm$^3$: $2.094 < 8.5$.

* Phát biểu này Sai.