Bài 4. Giải phương trình: |x^2 −4|+|x−1|=5

Question

Accepted Answer

Giải phương trình: $|x^2 - 4| + |x - 1| = 5$

Để giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, ta xét các trường hợp dựa vào dấu của các biểu thức bên trong dấu giá trị tuyệt đối.

Các điểm làm cho $x^2 - 4 = 0$ là $x = \pm 2$.

Điểm làm cho $x - 1 = 0$ là $x = 1$.

Ta có các khoảng trên trục số: $(-\infty, -2)$, $[-2, 1)$, $[1, 2)$, $[2, +\infty)$.

Trường hợp 1: $x < -2$

Khi $x < -2$, ta có:

$x^2 - 4 > 0 \implies |x^2 - 4| = x^2 - 4$

$x - 1 < 0 \implies |x - 1| = -(x - 1) = 1 - x$

Phương trình trở thành:

$(x^2 - 4) + (1 - x) = 5$

$x^2 - x - 3 = 5$

$x^2 - x - 8 = 0$

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$:

$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-8)}}{2(1)}$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 32}}{2}$

$x = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{2}$

Kiểm tra điều kiện $x < -2$:

$x_1 = \frac{1 + \sqrt{33}}{2}$. Vì $\sqrt{33} \approx 5.74$, $x_1 \approx \frac{1 + 5.74}{2} \approx 3.37 > -2$. (Loại)

$x_2 = \frac{1 - \sqrt{33}}{2}$. Vì $\sqrt{33} \approx 5.74$, $x_2 \approx \frac{1 - 5.74}{2} \approx -2.37 < -2$. (Nhận)

Vậy, trong trường hợp này, ta có một nghiệm là $x = \frac{1 - \sqrt{33}}{2}$.

Trường hợp 2: $-2 \le x < 1$

Khi $-2 \le x < 1$, ta có:

$x^2 - 4 \le 0 \implies |x^2 - 4| = -(x^2 - 4) = 4 - x^2$

$x - 1 < 0 \implies |x - 1| = -(x - 1) = 1 - x$

Phương trình trở thành:

$(4 - x^2) + (1 - x) = 5$

$-x^2 - x + 5 = 5$

$-x^2 - x = 0$

$x(x + 1) = 0$

Suy ra $x = 0$ hoặc $x = -1$.

Kiểm tra điều kiện $-2 \le x < 1$:

$x = 0$ thỏa mãn $-2 \le 0 < 1$. (Nhận)

$x = -1$ thỏa mãn $-2 \le -1 < 1$. (Nhận)

Vậy, trong trường hợp này, ta có hai nghiệm là $x = 0$ và $x = -1$.

Trường hợp 3: $1 \le x < 2$

Khi $1 \le x < 2$, ta có:

$x^2 - 4 < 0 \implies |x^2 - 4| = -(x^2 - 4) = 4 - x^2$

$x - 1 \ge 0 \implies |x - 1| = x - 1$

Phương trình trở thành:

$(4 - x^2) + (x - 1) = 5$

$-x^2 + x + 3 = 5$

$-x^2 + x - 2 = 0$

$x^2 - x + 2 = 0$

Tính delta của phương trình: $\Delta = (-1)^2 - 4(1)(2) = 1 - 8 = -7$.

Vì $\Delta < 0$, phương trình không có nghiệm thực trong trường hợp này.

Trường hợp 4: $x \ge 2$

Khi $x \ge 2$, ta có:

$x^2 - 4 \ge 0 \implies |x^2 - 4| = x^2 - 4$

$x - 1 > 0 \implies |x - 1| = x - 1$

Phương trình trở thành:

$(x^2 - 4) + (x - 1) = 5$

$x^2 + x - 5 = 5$

$x^2 + x - 10 = 0$

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-10)}}{2(1)}$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 40}}{2}$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{41}}{2}$

Kiểm tra điều kiện $x \ge 2$:

$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{41}}{2}$. Vì $\sqrt{41} \approx 6.4$, $x_1 \approx \frac{-1 + 6.4}{2} \approx 2.7 \ge 2$. (Nhận)

$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{41}}{2}$. Vì $\sqrt{41} \approx 6.4$, $x_2 \approx \frac{-1 - 6.4}{2} \approx -3.7 < 2$. (Loại)

Vậy, trong trường hợp này, ta có một nghiệm là $x = \frac{-1 + \sqrt{41}}{2}$.

Tóm hợp các nghiệm từ tất cả các trường hợp, ta có tập nghiệm của phương trình là:

$S = \left\{ \frac{1 - \sqrt{33}}{2}, -1, 0, \frac{-1 + \sqrt{41}}{2} \right\}$