929292929929292

1. Tiệm cận đứng (Vertical Asymptote):

  Đồ thị có đường tiệm cận đứng là đường thẳng $x=1$. Điều này có nghĩa là mẫu số của hàm số phải bằng $0$ khi $x=1$.

  Kiểm tra các phương án:

  *  $A.$ $y = \frac{x-2}{x-1}$ (mẫu số $x-1$, tiệm cận đứng $x=1$)

  *  $B.$ $y = \frac{x^2+2x-2}{x-1}$ (mẫu số $x-1$, tiệm cận đứng $x=1$)

  *  $C.$ $y = \frac{-x^2+2x-2}{x-1}$ (mẫu số $x-1$, tiệm cận đứng $x=1$)

  *  $D.$ $y = \frac{-x^2+x-2}{x-1}$ (mẫu số $x-1$, tiệm cận đứng $x=1$)

  Tất cả các phương án đều có tiệm cận đứng là $x=1$, phù hợp với đồ thị.

2. Tiệm cận xiên (Oblique Asymptote) hoặc Tiệm cận ngang (Horizontal Asymptote):

  Đồ thị là một hypebol với hai nhánh và có vẻ như có một tiệm cận xiên (không phải tiệm cận ngang). Điều này xảy ra khi bậc của tử số lớn hơn bậc của mẫu số đúng 1 đơn vị.

  *  $A.$ $y = \frac{x-2}{x-1}$: Bậc tử bằng bậc mẫu. Có tiệm cận ngang là $y = \frac{1}{1} = 1$. Đồ thị không có tiệm cận ngang $y=1$. Loại A.

  *  $B, C, D:$ Bậc tử là 2, bậc mẫu là 1. Do đó, các hàm số này có tiệm cận xiên. Ta cần tìm phương trình tiệm cận xiên bằng cách chia đa thức tử số cho mẫu số. Dạng chung là $y = ax+b + \frac{k}{x-1}$. Tiệm cận xiên là $y=ax+b$.

  *  B. $y = \frac{x^2+2x-2}{x-1}$:

    Thực hiện phép chia: $x^2+2x-2 = (x+3)(x-1) + 1$.

    Vậy $y = x+3 + \frac{1}{x-1}$. Tiệm cận xiên là $y = x+3$. Đường thẳng này có hệ số góc dương ($a=1$). Đồ thị cho thấy tiệm cận xiên có hệ số góc âm (đường thẳng đi xuống từ trái sang phải). Loại B.

  *  C. $y = \frac{-x^2+2x-2}{x-1}$:

    Thực hiện phép chia: $-x^2+2x-2 = (-x+1)(x-1) - 1$.

    Vậy $y = -x+1 - \frac{1}{x-1}$. Tiệm cận xiên là $y = -x+1$. Đường thẳng này có hệ số góc âm ($a=-1$), phù hợp với đồ thị. Đường thẳng $y=-x+1$ đi qua điểm $(0,1)$ và $(1,0)$. Trực quan, đường tiệm cận xiên trên đồ thị có vẻ đi qua $(0,1)$.

  *  D. $y = \frac{-x^2+x-2}{x-1}$:

    Thực hiện phép chia: $-x^2+x-2 = (-x)(x-1) - 2$.

    Vậy $y = -x - \frac{2}{x-1}$. Tiệm cận xiên là $y = -x$. Đường thẳng này có hệ số góc âm ($a=-1$). Tuy nhiên, đường thẳng $y=-x$ đi qua gốc tọa độ $(0,0)$, không phải qua $(0,1)$ như tiệm cận xiên trong hình. Loại D.

  Dựa vào tiệm cận xiên, phương án C là phù hợp nhất.

3. Kiểm tra các điểm đặc biệt trên đồ thị:

  Đồ thị đi qua điểm $(0,1)$ (giao điểm với trục Oy) và điểm $(2,-2)$ (được đánh dấu rõ ràng).

  *  Đối với phương án C: $y = \frac{-x^2+2x-2}{x-1}$

    *  Kiểm tra điểm $(0,1)$: Thay $x=0$ vào hàm số: $y = \frac{-0^2+2(0)-2}{0-1} = \frac{-2}{-1} = 2$.

      Kết quả là $y=2$, tức là điểm $(0,2)$. Điều này KHÔNG khớp với điểm $(0,1)$ trên đồ thị. Đây là một sự mâu thuẫn giữa đồ thị và phương án.

    *  Kiểm tra điểm $(2,-2)$: Thay $x=2$ vào hàm số: $y = \frac{-(2)^2+2(2)-2}{2-1} = \frac{-4+4-2}{1} = -2$.

      Kết quả là $y=-2$, tức là điểm $(2,-2)$. Điều này KHỚP với điểm $(2,-2)$ trên đồ thị.

  Như vậy, phương án C phù hợp với tiệm cận đứng, hình dạng chung, tiệm cận xiên và điểm $(2,-2)$. Điểm không khớp duy nhất là giao điểm với trục Oy. Trong các bài toán trắc nghiệm có thể có sai sót nhỏ trong việc vẽ hình hoặc ghi chú. Tuy nhiên, sự trùng khớp về tiệm cận xiên và một điểm cụ thể $(2,-2)$ là những bằng chứng mạnh mẽ hơn.

  Tiệm cận xiên của C là $y=-x+1$. Đường này đi qua $(0,1)$. Có thể người vẽ đã nhầm lẫn giữa việc đường cong cắt trục Oy tại $(0,1)$ và tiệm cận xiên đi qua $(0,1)$. Một đường cong không thể vừa cắt điểm $(0,1)$ vừa có tiệm cận tại điểm đó (trừ khi nó là đường thẳng).

$\boxed{C}$.