Câu 1:
Để tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số , chúng ta sẽ tính nguyên hàm từng phần của hàm số này.
Bước 1: Tính nguyên hàm của .
Bước 2: Tính nguyên hàm của .
Bước 3: Cộng lại các kết quả nguyên hàm đã tìm được.
Trong đó, là hằng số tích phân tổng quát, bao gồm cả và .
Vậy, tất cả các nguyên hàm của hàm số là:
Do đó, đáp án đúng là:
Câu 2:
Để tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng và , có thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là một tam giác đều có cạnh bằng , ta thực hiện các bước sau:
1. Tính diện tích thiết diện:
- Diện tích của một tam giác đều có cạnh là:
- Ở đây, cạnh của tam giác đều là , nên diện tích thiết diện là:
2. Tính thể tích V:
- Thể tích của vật thể được tính bằng cách tích phân diện tích thiết diện theo chiều dài đoạn thẳng từ đến :
- Tính tích phân:
Vậy thể tích V của phần vật thể là:
Đáp án đúng là:
Câu 3:
Để tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta thực hiện các bước sau:
1. Tính trung bình cộng của mẫu số liệu:
- Tính trung tâm của mỗi khoảng:
- Nhân trung tâm mỗi khoảng với số lần tương ứng:
- Tính tổng các giá trị này:
- Tính trung bình cộng:
2. Tính phương sai của mẫu số liệu:
- Tính bình phương của độ lệch giữa mỗi giá trị trung tâm và trung bình cộng, nhân với số lần tương ứng:
- Tính tổng các giá trị này:
- Tính phương sai:
3. Tính độ lệch chuẩn:
Vậy độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm gần nhất với giá trị 2,44.
Đáp án đúng là: C. 2,44
Câu 4:
Để tìm phương trình mặt phẳng (P) đi qua gốc tọa độ và đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng và , ta thực hiện các bước sau:
1. Tìm vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng và :
- Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến .
- Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến .
2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) bằng cách tính tích có hướng của hai vectơ pháp tuyến trên:
Ta có:
Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là .
3. Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua gốc tọa độ với vectơ pháp tuyến :
Phương trình mặt phẳng (P) có dạng:
Do đó, phương trình mặt phẳng (P) là:
Vậy đáp án đúng là:
Câu 5:
Để tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số , chúng ta sẽ kiểm tra các loại đường tiệm cận có thể xuất hiện: tiệm cận đứng, tiệm cận ngang và tiệm cận xi-phông.
1. Kiểm tra tiệm cận đứng:
Tiệm cận đứng xảy ra khi mẫu số bằng 0 và tử số khác 0 tại những điểm đó.
Mẫu số khi .
Tử số :
- Khi : (không xác định).
- Khi : (không xác định).
Do đó, không làm cho tử số bằng 0 và không xác định, nên không có tiệm cận đứng tại .
2. Kiểm tra tiệm cận ngang:
Tiệm cận ngang xảy ra khi (L là hằng số hữu hạn).
Ta tính:
Chia cả tử và mẫu cho :
Khi , và :
Vậy, tiệm cận ngang là .
3. Kiểm tra tiệm cận xi-phông:
Tiệm cận xi-phông xảy ra khi .
Trong trường hợp này, vì đã tìm thấy tiệm cận ngang , nên không cần kiểm tra thêm tiệm cận xi-phông.
Kết luận:
Hàm số có 1 đường tiệm cận ngang là . Do đó, số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là 1.
Đáp án đúng là: A. 1.
Câu 6:
Để giải bất phương trình , chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Viết lại biểu thức với cùng cơ số:
Ta nhận thấy rằng có thể viết lại dưới dạng :
2. So sánh hai lũy thừa có cùng cơ số:
Bây giờ, ta có:
Vì cơ số là cùng một số dương lớn hơn 1 (ở đây là 2), nên ta có thể so sánh các mũ của chúng:
3. Giải bất phương trình tuyến tính:
Ta nhóm các biến về một vế và hằng số về vế còn lại:
Chia cả hai vế cho 3:
4. Kết luận tập nghiệm:
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:
Do đó, đáp án đúng là:
Câu 7:
Mặt phẳng có một vectơ pháp tuyến là
Đáp án đúng: A.
Câu 8:
Trước tiên, ta cần hiểu rằng góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó lên mặt phẳng đó.
- Hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABC), tức là SA ⊥ (ABC).
- Để tìm góc giữa đường thẳng SC và đáy (ABC), ta cần tìm hình chiếu của SC lên mặt phẳng (ABC). Vì SA ⊥ (ABC), nên hình chiếu của điểm S lên (ABC) là điểm A. Do đó, hình chiếu của SC lên (ABC) là AC.
- Góc giữa đường thẳng SC và đáy (ABC) chính là góc giữa SC và AC, tức là góc SCA.
Vậy góc giữa đường thẳng SC và đáy (ABC) là góc SCA.
Đáp án đúng là: D. SCA.
Câu 9:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tìm nghiệm của phương trình
Phương trình có nghĩa là:
Tính :
Do đó:
Vậy nghiệm của phương trình là . Đáp án đúng là
Bước 2: Tìm số hạng của cấp số nhân
Cấp số nhân có và công bội . Số hạng thứ hai được tính bằng cách nhân số hạng đầu tiên với công bội:
Vậy số hạng là .
Kết luận:
- Nghiệm của phương trình là .
- Số hạng của cấp số nhân là .
Đáp án:
- Phương trình : Đáp án đúng là
- Số hạng của cấp số nhân : .
Câu 10:
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho
Tọa độ của vectơ là:
Đáp án đúng là:
Câu 11:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xác định vector pháp tuyến của mặt phẳng đã cho. Mặt phẳng có phương trình tổng quát là , trong đó là các thành phần của vector pháp tuyến.
Mặt phẳng đã cho có phương trình:
Từ phương trình này, ta thấy rằng các hệ số của , , và lần lượt là 2, -3, và -1. Do đó, vector pháp tuyến của mặt phẳng này là:
Trong các lựa chọn đã cho, vector pháp tuyến này tương ứng với:
Vậy đáp án đúng là: