Câu 1:
Để tìm phương trình của đường thẳng đi qua hai điểm và , ta thực hiện các bước sau:
1. Tìm vector chỉ phương của đường thẳng:
Vector chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm và là:
2. Lập phương trình đường thẳng:
Phương trình đường thẳng đi qua điểm và có vector chỉ phương là:
Do đó, phương án đúng là:
Câu 2:
Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số , và các đường thẳng , , ta cần xác định các đoạn trên khoảng mà lớn hơn hoặc nhỏ hơn .
Trước tiên, ta tìm giao điểm của hai hàm số:
Trong khoảng , các giao điểm là:
Ta chia khoảng thành các đoạn:
- Từ đến :
- Từ đến :
- Từ đến :
Do đó, diện tích hình phẳng sẽ được tính bằng tổng các tích phân trên các đoạn này:
Tổng hợp lại, ta có:
Vậy đáp án đúng là:
Câu 3:
Để giải bất phương trình , chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
1. Xác định điều kiện xác định: Bất phương trình có nghĩa là phải lớn hơn 1. Hàm số luôn dương và tăng theo .
2. So sánh với giá trị cơ bản: Ta biết rằng . Do đó, để , thì phải lớn hơn 0.
3. Xác định tập nghiệm: Từ bước trên, ta thấy rằng phải lớn hơn 0 để lớn hơn 1. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là .
Do đó, đáp án đúng là:
Câu 4:
Để tìm nguyên hàm của hàm số , chúng ta sẽ áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản của hàm sin.
Công thức nguyên hàm của là:
Do đó, nguyên hàm của sẽ là:
Vậy nguyên hàm của hàm số là .
Đáp án đúng là: .
Câu 5:
Để tìm khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SAB), ta cần xác định đường thẳng qua D vuông góc với mặt phẳng (SAB).
1. Xác định đường thẳng qua D vuông góc với mặt phẳng (SAB):
- Vì , nên và .
- Mặt phẳng (SAB) bao gồm các đường thẳng SA và AB.
- Đường thẳng qua D vuông góc với mặt phẳng (SAB) sẽ là đường thẳng SD vì SD nằm trong mặt phẳng (SAD) và .
2. Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SAB):
- Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SAB) chính là độ dài đoạn thẳng SD.
Do đó, khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SAB) là SD.
Đáp án: B. SD
Câu 6:
Để tìm đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số, ta cần tính giới hạn của hàm số khi hoặc .
Giả sử hàm số đã cho là . Ta sẽ tìm giới hạn của khi :
1. Tìm giới hạn của khi :
Giả sử .
Ta thực hiện phép chia đa thức:
Khi , ta có:
Vậy đường tiệm cận xiên của hàm số là .
2. So sánh với các đáp án:
- Đáp án A:
- Đáp án B:
- Đáp án C:
- Đáp án D:
Trong các đáp án trên, không có đáp án nào đúng với đường tiệm cận xiên .
Do đó, cần kiểm tra lại đề bài hoặc các đáp án để đảm bảo chính xác. Nếu đề bài và đáp án đều chính xác, thì có thể có lỗi trong việc lập luận hoặc giả sử ban đầu.
Kết luận: Đáp án đúng là , nhưng không có trong các lựa chọn đã cho.
Câu 7:
Mặt phẳng (Oyz) là mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O và trục y, z. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này sẽ vuông góc với cả hai trục y và z.
Ta xét các lựa chọn:
- : Vectơ này không vuông góc với cả hai trục y và z, vì nó có các thành phần khác 0 ở cả ba chiều.
- : Vectơ này là vectơ null, không thể là vectơ pháp tuyến của bất kỳ mặt phẳng nào.
- : Vectơ này chỉ có thành phần ở chiều x, vuông góc với cả hai trục y và z. Do đó, nó có thể là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oyz).
- : Vectơ này có thành phần ở cả hai chiều y và z, không thể là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oyz).
Vậy, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oyz) là .
Đáp án đúng là: C. .
Câu 8:
Để tìm nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu, chúng ta thực hiện các bước sau:
1. Tính tổng số học sinh:
Tổng số học sinh = 8 + 14 + 11 + 9 + 3 = 45 học sinh.
2. Xác định vị trí của trung vị:
Vì số lượng học sinh là 45 (số lẻ), trung vị sẽ nằm ở vị trí thứ .
3. Xác định nhóm chứa trung vị:
- Nhóm [0; 30) có 8 học sinh.
- Nhóm [30; 60) có 14 học sinh, tổng từ nhóm đầu đến nhóm này là 8 + 14 = 22 học sinh.
- Nhóm [60; 90) có 11 học sinh, tổng từ nhóm đầu đến nhóm này là 8 + 14 + 11 = 33 học sinh.
Như vậy, trung vị nằm trong khoảng từ 22 đến 33 học sinh, cụ thể là trong nhóm [60; 90).
Do đó, nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu trên là:
Câu 9:
Để giải phương trình , ta thực hiện các bước sau:
1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ):
- Đối với phương trình logarit , điều kiện xác định là .
2. Giải phương trình:
- Phương trình có nghĩa là phải bằng .
- Ta biết rằng .
3. Kiểm tra điều kiện xác định:
- Kết quả thỏa mãn điều kiện .
Vậy nghiệm của phương trình là .
Đáp án đúng là: .
Câu 10:
Để tính , ta cần xác định góc giữa hai mặt phẳng của tứ diện S.ABC. Ta sẽ sử dụng phương pháp trực giao hóa để tìm góc giữa hai mặt phẳng.
1. Xác định các vectơ pháp tuyến:
- Mặt phẳng (SBC) có vectơ pháp tuyến .
- Mặt phẳng (ABC) có vectơ pháp tuyến .
2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SBC):
- Vectơ .
- Vectơ .
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SBC) là:
3. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC):
- Vectơ .
- Vectơ .
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là:
4. Tính góc giữa hai vectơ pháp tuyến:
- Góc giữa hai vectơ pháp tuyến và là góc giữa hai mặt phẳng.
- Ta có:
- Tích vô hướng:
- Độ dài các vectơ:
- Vậy:
5. Kết luận:
- Góc giữa hai mặt phẳng là , do đó:
Đáp án đúng là: .