giúp với ạ Câu 4: Giả sử doanh số bán hàng (đơn vị triệu đồng) của một sản phẩm mới trong vòng một số năm nhất,định tuân theo quy luật logistic được mô hình hóa bằng hàm số $f(t)=500(t^2+me^{-t}),$ với $t\geq0$,là thời gian tính bằng năm kể từ khi phát hành sản phẩm mới, $m\leq0$ là tham số. Khi đó đạo hàm,$f^\prime(t)$ sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Biết rằng tốc độ bán hàng luôn tăng trong khoảng thời gian 10,năm đầu phát hành sản phẩm, khi đó giá trị nhỏ nhất của m bằng bao nhiêu?

Question

Accepted Answer

Câu 4:
Để tìm giá trị nhỏ nhất của $ m $ sao cho tốc độ bán hàng luôn tăng trong khoảng thời gian 10 năm đầu tiên, ta cần tính đạo hàm của hàm số $ f(t) $ và đảm bảo đạo hàm này luôn dương trong khoảng thời gian từ 0 đến 10 năm.

Bước 1: Tính đạo hàm của $ f(t) $.

$$ f(t) = 500(t^2 + me^{-t}) $$

Áp dụng quy tắc đạo hàm tổng và đạo hàm của hàm số mũ:

$$ f'(t) = 500 \left( 2t + m(-e^{-t}) \right) $$
$$ f'(t) = 500 \left( 2t - me^{-t} \right) $$

Bước 2: Đảm bảo $ f'(t) > 0 $ trong khoảng thời gian từ 0 đến 10 năm.

$$ 500 \left( 2t - me^{-t} \right) > 0 $$

Chia cả hai vế cho 500:

$$ 2t - me^{-t} > 0 $$

Bước 3: Tìm điều kiện của $ m $ để bất đẳng thức trên luôn đúng trong khoảng $ 0 \leq t \leq 10 $.

$$ 2t > me^{-t} $$

Chia cả hai vế cho $ e^{-t} $:

$$ 2te^{t} > m $$

Bước 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của $ m $ bằng cách tìm giá trị nhỏ nhất của $ 2te^{t} $ trong khoảng $ 0 \leq t \leq 10 $.

Xét hàm số $ g(t) = 2te^{t} $. Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của $ g(t) $ trong khoảng $ 0 \leq t \leq 10 $.

Tính đạo hàm của $ g(t) $:

$$ g'(t) = 2(e^{t} + te^{t}) $$
$$ g'(t) = 2e^{t}(1 + t) $$

Đạo hàm $ g'(t) $ luôn dương vì $ e^{t} > 0 $ và $ 1 + t > 0 $ trong khoảng $ 0 \leq t \leq 10 $. Do đó, hàm số $ g(t) $ là hàm số đồng biến trong khoảng này.

Giá trị nhỏ nhất của $ g(t) $ sẽ xảy ra tại $ t = 0 $:

$$ g(0) = 2 \cdot 0 \cdot e^{0} = 0 $$

Do đó, giá trị nhỏ nhất của $ m $ là 0.

Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của $ m $ là 0.