giúp mình với Câu 6: Một sân điền kinh gồm hai sân hình bán nguyệt có bán kính $x(m)(x0)$ và một sân hình chữ,nhật như hình vẽ. Biết chu vi của sân điền kinh là 400 m, tìm diện tích lớn nhất của sân hình chữ nhật,theo mét vuông (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).,

Question

giúp mình với Câu 6: Một sân điền kinh gồm hai sân hình bán nguyệt có bán kính $x(m)(x>0)$ và một sân hình chữ,nhật như hình vẽ. Biết chu vi của sân điền kinh là 400 m, tìm diện tích lớn nhất của sân hình chữ nhật,theo mét vuông (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/552f29a4599348bab1aaf549dbf5afb3.jpg />

Accepted Answer

Câu 6:
Chu vi của sân điền kinh bao gồm chu vi của hai sân hình bán nguyệt và chu vi của sân hình chữ nhật. Ta có:

Chu vi của hai sân hình bán nguyệt là:
$$ 2 \times \pi x = 2\pi x $$

Chu vi của sân hình chữ nhật là:
$$ 2 \times (2x + y) = 4x + 2y $$

Tổng chu vi của sân điền kinh là:
$$ 2\pi x + 4x + 2y = 400 $$

Rearrange để tìm $ y $:
$$ 2y = 400 - 2\pi x - 4x $$
$$ y = 200 - \pi x - 2x $$

Diện tích của sân hình chữ nhật là:
$$ A = 2x \times y $$
$$ A = 2x(200 - \pi x - 2x) $$
$$ A = 400x - 2\pi x^2 - 4x^2 $$
$$ A = 400x - (2\pi + 4)x^2 $$

Để tìm diện tích lớn nhất, ta tính đạo hàm của $ A $ theo $ x $ và đặt nó bằng 0:
$$ \frac{dA}{dx} = 400 - 2(2\pi + 4)x $$
$$ 400 - 2(2\pi + 4)x = 0 $$
$$ 400 = 2(2\pi + 4)x $$
$$ 200 = (2\pi + 4)x $$
$$ x = \frac{200}{2\pi + 4} $$

Tính giá trị của $ x $:
$$ x = \frac{200}{2\pi + 4} \approx \frac{200}{2 \times 3.14 + 4} \approx \frac{200}{10.28} \approx 19.45 $$

Thay $ x \approx 19.45 $ vào công thức diện tích:
$$ y = 200 - \pi \times 19.45 - 2 \times 19.45 $$
$$ y \approx 200 - 3.14 \times 19.45 - 38.9 $$
$$ y \approx 200 - 61.03 - 38.9 $$
$$ y \approx 100.07 $$

Diện tích lớn nhất của sân hình chữ nhật:
$$ A = 2x \times y $$
$$ A \approx 2 \times 19.45 \times 100.07 $$
$$ A \approx 38.9 \times 100.07 $$
$$ A \approx 3892.663 $$

Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị:
$$ A \approx 3893 \text{ m}^2 $$

Đáp số: Diện tích lớn nhất của sân hình chữ nhật là 3893 m².