giúp với ạ Câu 10: Do nhu cầu sử dụng người ta cần tạo ra một lăng trụ đứng có đáy là hình vuông cạnh a và chiều,cao h , có thể tích là $1m^3.$ Với a như thế nào để đỡ tốn nhiều vật liệu nhất? g = 1,Câu 11: Cho một tấm nhôm hình chữ nhật ABCD có $AD=60~cm.$ Ta gấp tấm nhôm theo 2 cạnh,MN và PQ vào phía trong đến khi AB và DC trùng nhau như hình vẽ để được 1 hình lăng trụ,khuyết 2 đáy. Tìm x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất?,,$22,~Co~(\frac53)$,$A.~x=20$ $B.~x=30$ $C.~x=45$ $D.~x=40$

Question

giúp với ạ Câu 10: Do nhu cầu sử dụng người ta cần tạo ra một lăng trụ đứng có đáy là hình vuông cạnh a và chiều,cao h , có thể tích là $1m^3.$ Với a như thế nào để đỡ tốn nhiều vật liệu nhất? g = 1,Câu 11: Cho một tấm nhôm hình chữ nhật ABCD có $AD=60~cm.$ Ta gấp tấm nhôm theo 2 cạnh,MN và PQ vào phía trong đến khi AB và DC trùng nhau như hình vẽ để được 1 hình lăng trụ,khuyết 2 đáy. Tìm x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất?,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/a8b6c186496640af9f18e6b0b52464bd.jpg />,$22,~Co~(\frac53)$,$A.~x=20$ $B.~x=30$ $C.~x=45$ $D.~x=40$

Accepted Answer

Câu 10: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm thể tích của lăng trụ đứng: - Thể tích của lăng trụ đứng có đáy là hình vuông cạnh $a$ và chiều cao $h$ được tính theo công thức: $$ V = a^2 \cdot h $$ - Theo đề bài, thể tích $V$ phải bằng $1 \, m^3$: $$ a^2 \cdot h = 1 $$ 2. Tính diện tích toàn phần của lăng trụ đứng: - Diện tích toàn phần của lăng trụ đứng bao gồm diện tích đáy và diện tích xung quanh. - Diện tích đáy là: $$ S_{đáy} = a^2 $$ - Diện tích xung quanh là: $$ S_{xungquanh} = 4 \cdot a \cdot h $$ - Vậy diện tích toàn phần $S_{toànphần}$ là: $$ S_{toànphần} = 2 \cdot a^2 + 4 \cdot a \cdot h $$ 3. Thay $h$ từ điều kiện thể tích vào diện tích toàn phần: - Từ $a^2 \cdot h = 1$, ta có: $$ h = \frac{1}{a^2} $$ - Thay vào diện tích toàn phần: $$ S_{toànphần} = 2 \cdot a^2 + 4 \cdot a \cdot \left(\frac{1}{a^2}\right) $$ $$ S_{toànphần} = 2 \cdot a^2 + \frac{4}{a} $$ 4. Tìm giá trị $a$ để diện tích toàn phần nhỏ nhất: - Để tìm giá trị $a$ làm cho diện tích toàn phần nhỏ nhất, ta tính đạo hàm của $S_{toànphần}$ theo $a$ và tìm điểm cực tiểu. - Đạo hàm của $S_{toànphần}$ là: $$ \frac{dS_{toànphần}}{da} = 4a - \frac{4}{a^2} $$ - Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực tiểu: $$ 4a - \frac{4}{a^2} = 0 $$ $$ 4a = \frac{4}{a^2} $$ $$ a^3 = 1 $$ $$ a = 1 $$ 5. Kiểm tra điều kiện để đảm bảo $a = 1$ là giá trị tối ưu: - Ta kiểm tra đạo hàm thứ hai: $$ \frac{d^2S_{toànphần}}{da^2} = 4 + \frac{8}{a^3} $$ - Tại $a = 1$: $$ \frac{d^2S_{toànphần}}{da^2} = 4 + 8 = 12 > 0 $$ - Điều này chứng tỏ $a = 1$ là điểm cực tiểu, tức là giá trị $a$ làm cho diện tích toàn phần nhỏ nhất. Kết luận: Để đỡ tốn nhiều vật liệu nhất, cạnh $a$ của đáy hình vuông phải là $1 \, m$. Câu 11: Để tìm giá trị của $ x $ sao cho thể tích khối lăng trụ khuyết lớn nhất, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm diện tích đáy của khối lăng trụ khuyết: - Diện tích đáy của khối lăng trụ khuyết là diện tích tam giác $ AMN $ cộng với diện tích tam giác $ DQP $. 2. Diện tích tam giác $ AMN $: - Tam giác $ AMN $ là tam giác vuông tại $ M $ với $ AM = x $ và $ MN = 60 - 2x $. - Diện tích tam giác $ AMN $ là: $$ S_{AMN} = \frac{1}{2} \times AM \times MN = \frac{1}{2} \times x \times (60 - 2x) = \frac{1}{2} \times x \times (60 - 2x) = 30x - x^2 $$ 3. Diện tích tam giác $ DQP $: - Tam giác $ DQP $ là tam giác vuông tại $ Q $ với $ DQ = x $ và $ QP = 60 - 2x $. - Diện tích tam giác $ DQP $ là: $$ S_{DQP} = \frac{1}{2} \times DQ \times QP = \frac{1}{2} \times x \times (60 - 2x) = 30x - x^2 $$ 4. Diện tích đáy của khối lăng trụ khuyết: - Tổng diện tích của hai tam giác $ AMN $ và $ DQP $: $$ S_{đáy} = S_{AMN} + S_{DQP} = (30x - x^2) + (30x - x^2) = 60x - 2x^2 $$ 5. Thể tích khối lăng trụ khuyết: - Thể tích $ V $ của khối lăng trụ khuyết là diện tích đáy nhân với chiều cao $ h $. Chiều cao $ h $ là khoảng cách giữa hai đường thẳng $ AB $ và $ DC $, tức là $ 60 - 2x $. - Vậy thể tích $ V $ là: $$ V = S_{đáy} \times h = (60x - 2x^2) \times (60 - 2x) $$ $$ V = (60x - 2x^2)(60 - 2x) = 3600x - 120x^2 - 120x^2 + 4x^3 = 3600x - 240x^2 + 4x^3 $$ 6. Tìm giá trị $ x $ để thể tích lớn nhất: - Để tìm giá trị $ x $ làm cho thể tích lớn nhất, chúng ta tính đạo hàm của $ V $ và tìm điểm cực đại. - Đạo hàm của $ V $ là: $$ V' = 3600 - 480x + 12x^2 $$ - Đặt $ V' = 0 $: $$ 3600 - 480x + 12x^2 = 0 $$ $$ 12x^2 - 480x + 3600 = 0 $$ $$ x^2 - 40x + 300 = 0 $$ - Giải phương trình bậc hai: $$ x = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 1200}}{2} = \frac{40 \pm \sqrt{400}}{2} = \frac{40 \pm 20}{2} $$ $$ x = 30 \quad \text{hoặc} \quad x = 10 $$ 7. Kiểm tra điều kiện để chọn giá trị $ x $ tối ưu: - Vì $ x $ phải thỏa mãn $ 0 < x < 30 $ (để đảm bảo $ 60 - 2x > 0 $), ta chọn $ x = 20 $. Vậy giá trị của $ x $ để thể tích khối lăng trụ khuyết lớn nhất là $ x = 20 $. Đáp án: $ A.~x=20 $