hjsnsishshshhsj Câu 9: Biểu thức $M=(\frac1{\sqrt x-1}+\frac{\sqrt x}{x-1}):(\frac{\sqrt x}{\sqrt x-1}-1)$ có kết quả rút gọn là $\frac{m\sqrt x+n}{\sqrt x+1}$ với m,n là các,số tự nhiên. Khi đó $m+n$ bằng,A. 5. B. 1. C. 3. D. 2.

Question

Accepted Answer

Câu 9:
Điều kiện xác định: $ x > 0 $ và $ x \neq 1 $.

Rút gọn biểu thức $ M $:

$$
M = \left( \frac{1}{\sqrt{x} - 1} + \frac{\sqrt{x}}{x - 1} \right) : \left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} - 1 \right)
$$

Chúng ta sẽ thực hiện từng phần của biểu thức này.

Phần tử đầu tiên:

$$
\frac{1}{\sqrt{x} - 1} + \frac{\sqrt{x}}{x - 1}
$$

Chúng ta viết lại $ \frac{\sqrt{x}}{x - 1} $ dưới dạng:

$$
\frac{\sqrt{x}}{x - 1} = \frac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}
$$

Do đó:

$$
\frac{1}{\sqrt{x} - 1} + \frac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} = \frac{\sqrt{x} + 1 + \sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} = \frac{2\sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}
$$

Phần tử thứ hai:

$$
\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} - 1 = \frac{\sqrt{x} - (\sqrt{x} - 1)}{\sqrt{x} - 1} = \frac{1}{\sqrt{x} - 1}
$$

Bây giờ chúng ta chia hai phần này:

$$
M = \frac{\frac{2\sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}}{\frac{1}{\sqrt{x} - 1}} = \frac{2\sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)} \times (\sqrt{x} - 1) = \frac{2\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 1}
$$

Như vậy, biểu thức $ M $ đã được rút gọn thành:

$$
M = \frac{2\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 1}
$$

So sánh với biểu thức ban đầu $ \frac{m\sqrt{x} + n}{\sqrt{x} + 1} $, ta thấy $ m = 2 $ và $ n = 1 $.

Vậy $ m + n = 2 + 1 = 3 $.

Đáp án đúng là: C. 3.